xD4_3泰勒中值定理 幻灯片.pptVIP

2015-10-31 39-1 第三节 一、泰勒公式的建立 泰勒多项式逼近 泰勒多项式逼近 1. 求 n 次近似多项式 2. 余项估计 泰勒中值定理 : 此时，泰勒公式可写为： 在泰勒公式中若取 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式应用 例. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 内容小结 2. 常用函数的麦克劳林公式 泰勒 (1685 – 1731) 麦克劳林 (1698 – 1746) 运行时, 点击按钮“例如”, 或 “例如…“ 即可显示动画 * 二、几个初等函数的麦克劳林公式 一、泰勒公式的建立 三、泰勒公式的应用 — 应用 用多项式近似表示函数 理论分析 *近似计算 泰勒 ( Taylor )公式 第四章 特点: 以直代曲 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x 的一次多项式 4 2 2 4 6 4 2 0 2 4 6 4 2 2 4 6 4 2 0 2 4 6 要求: 故 令 则 令 (称为余项) , 则有 则有 公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 阶的导数 , 时, 有 ① 其中 ② 则当 公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . 则 ③ ④ (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 即为拉格朗日中值定理 可见 误差 称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 则有 则有误差估计式 若在公式成立的区间上 由此得近似公式 其中 其中 类似可得 其中 已知 其中 类似可得 其中 1. 利用泰勒公式求极限 例1.计算 解: 原式 若 解: 例2. 2. 利用泰勒公式证明不等式 例3. 由题设对 证: 有 且 例4. 下式去减去上式 , 得 令 3*. 在近似计算中的应用 误差 M 为 在包含 0 , x 的某区间上的上界. 需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围. 已知 解: 令 x = 1 , 得 由于 欲使 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 的麦克劳林公式为 1. 泰勒公式 其中余项 当 时为麦克劳林公式 . 3. 泰勒公式的应用 (1)求极限 (3) *其他应用 近似计算、利用多项式逼近函数 等. (2)证明不等式, 2015-10-31 39-1 英国数学家, 他早期是牛顿学派最 优秀的代表人物之一 , 重要著作有: 《正的和反的增量方法》(1715) 《线性透视论》(1719) 他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 . 他是有限差分理论的奠基人 . 2015-10-31 39-1 英国数学家, 著作有: 《流数论》(1742) 《有机几何学》(1720) 《代数论》(1742) 在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的 麦克劳林级数 . 运行时, 点击按钮“泰勒”, 或相片 , 可显示泰勒简介,演示结束自动返回. * 证明见江泽坚“数学分析”（上册）。 运行时, 点击按钮“麦克劳林” , 或 相片 , 可显示麦克劳林简介, 演示结束自动返回. * * * *