Ch08-2应用概率统计 陈魁.pdf

第2节 参数的区间估计 一、区间估计的基本概念 二、典型例题 三、小结 一、区间估计的基本概念 1. 置信区间的定义 设总体X 的分布函数F (x ;) 含有一个未知参 数, 对于给定值 (0   1), 若由样本X 1 ,X 2 , , X n 确定的两个统计量  (X 1 ,X 2 , ,X n )和 (X 1 ,X 2 , ,X n ) 满足 P {(X 1 ,X 2 , ,X n )  (X 1 ,X 2 , ,X n )} 1, 则称随机区间(,)是 的置信度为1 的置信区 间, 和分别称为置信度为1 的双侧置信区间 的置信下限和置信上限, 1为置信度. 关于定义的说明 被估计的参数虽然未知, 但它是一个常数, 没有随机性, 而区间(, )是随机的. 因此定义中下表达式 P{( X , X ,, X ) ( X , X ,, X )} 1  1 2 n 1 2 n 的本质是: 随机区间(,) 以1的概率包含着参数的真值, 而不能说参数以1的概率落入随机区间(,). 另外定义中的表达式 P{( X , X ,, X )   ( X , X ,, X )}  1  1 2 n 1 2 n 还可以描述为: 若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n) 每个样本值确定一个区间(, ), 每个这样的区间或包含  的真值或不包含  的真值, 按伯努利大数定理, 在这样多的区间中, 包含真值的约占100(1 )%, 不包含的约占100%. 例如 若 0.01, 反复抽样1000 次, 则得到的1000 个区间中不包含 真值的约为10个. 2. 求置信区间的一般步骤(共3步) (1) 寻求一个样本X , X ,, X 的函数: 1 2 n Z  Z ( X , X ,, X ;) 1 2 n 其中仅包含待估参数, 并且Z 的分布已知 且不依赖于任何未知参数(包括). (2) 对于给定的置信度1 ,定出两个常数a,b, 使P{a  Z ( X , X ,, X ;)  b}  1 . 1 2 n (3) 若能从 a  Z ( X , X ,, X ;)  b 得到等价的 1 2 n 不等式 , 其中 ( X , X ,, X ), 1 2 n ( X , X ,, X ) 都是统计量, 那么(, ) 就 1 2 n 是的一个置信度为 1  的置信区间. 　　样本容量n 固定, 置信水平1 增大, 置信区 间长度增大, 可信程度增大, 区间估计精度降低. 　　置信水平1 固定, 样本容量n 增大, 置信区 间长度减小, 可信程度不变, 区间估计精度提高. 单击图形播放/暂停 ESC键退出 单击图形播放/暂停 ESC键退出 二、典型例题 例1 设总体X 在[0,] 上服从均匀分布, 其中 (