上篇一3 幂级数展开.pptVIP

* 本章要求： 掌握利用基本公式和有关幂级数的公式，把圆域内的解析函数展为泰勒级数的方法。 掌握利用基本公式和有关幂级数的公式，把环域内的解析函数展为洛朗级数的方法。 了解孤立奇点的分类。 本章要点： * ? z ? 证明： 作两圆 利用复连通区域柯西公式： * ? z ? * * C 是环区域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。 1、正幂部分 称为洛朗级数的正则部分， 在 圆内绝对且一致收敛； 2、负幂部分 称为 洛朗级数的主部，在 圆外绝对且一致收敛； 洛朗级数在某一个给定的圆环域内的展开也是唯一的。 洛朗展开可分为2个部分： * 关于洛朗级数展开的注意点： 由于展式中含有(z-z0) 的负幂次项，所以这些项在z=z0点是奇异的，但z0点不一定是函数 f(z) 的奇点； 尽管求展开系数ak 的公式与泰勒展开系数的积分公式形式一样，但 ，不论z0是否 f(z)的奇点。若z0 为f(z)的奇点，则f(k)(z0)根本不存在；若z0不是f(z)的奇点，则f(k)(z0)存在，但ak还是不等于f(k)(z0)/k! 。因为高阶导数公式 成立的条件是在以C为边界的区域上f(z)解析，而现在区域上有f(z)的奇点； * 如果只有环心 z0 是f(z)的奇点，则内圆半径可以 无限小，z 可以无限接近z0，这时称 为f(z)在它的孤立奇点z0 邻域上的洛朗展开式。可用它研究函数在其孤立奇点附近的性质。 * 三、展开方法 直接展开法 间接展开法：根据洛朗展式的唯一性，即函数在某个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的，因此可用代数运算、代换、求导及积分等方法去展开。 利用定理公式计算系数ak 然后写出 * 例9：在z0=0的去心邻域将sinz/z展开。 解： z0=0是函数奇点 此例中圆环域的中心是函数的奇点。 * 解： （1） 环域中心z0=0 此例中圆环域的中心z0=0不是函数的奇点。 例10：将 在环域上展为级数。 (1)1|z|? (2) z0=1的邻域上 * （2）环域中心z0=1 此例中圆环域的中心z0=1是函数的奇点。 展开泰勒级数： 结论：同一解析函数在不同的圆环域上有不同的洛朗展开式，但在给定的环域内洛朗展式是唯一的。 * 例11：在z0=0的邻域上将f(z)=e1/z展为洛朗级数。 解： * 解： （1）1|z|2 * * * 例13：在z0=0求函数 的洛朗展开。 解： * * * §3.6 孤立奇点的分类 一、孤立奇点的定义： 若函数 f(z) 在某点 z0 不可导。而在 z0 的任意小邻域内除z0 外处处可导，便称 z0 为 f(z) 的孤立奇点。若在 z0 点的无论多么小的邻域内，总可以找到除 z0 以外的不可导的点，便称 z0 为 f(z) 的非孤立奇点。 注意：孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤立奇点。 * 例如：z=0 是 函数 的孤立奇点。 例如：z=0 是函数 [sin(1/z)]-1 的非孤立奇点。 因为在以z=0 为圆心， R1 的圆内，除z=0 外，无其它不可导点。 因为该函数的奇点为 zn=1/n?，n=0,±1, ±2... ，只要 n 足够大，1/n? 可以任意接近于z=0，即在z=0的无论多么小的邻域内，总可以找到函数的其它奇点。 * 二、孤立奇点的分类： 1、若展式不含负幂项：z0为f(z)的可去奇点 2、若展式含有限个负幂项：z0为f(z)的极点 3、若展式含无限个负幂项：z0为f(z)的本性奇点 设z0是单值函数 f(z) 的孤立奇点，则在以 z0为圆心的一个环状邻域0|z-z0|R内, 可以展开成洛朗级数： 正幂部分：解析部分 负幂部分：主要部分 * 三、函数在孤立奇点邻域的性质 可去奇点 可去奇点的判定 由定义判断：如果f(z)在z0的洛朗级数无负幂项则z0为f(z)的可去奇点； (2)判断极限： 若极限存在且为有限值，则z0为f(z)的可去奇点。 * 所以z=0为 的可去奇点。 无负幂项 解： z=0是函数奇点 所