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2017-10-09 发布于江西
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IMO预选题2001(中文)

2001 IMO shortlist 2001 IMO shortlist (2001 IMO 备选题) Algebra （代数） A1. 设T 为所有非负三元有序数组（p ，q ，r ）的集合。找出所有的函数 f ：T ，使得： 0，当pqr 0时 1 1 {f （p 1，q 1，r ） f （p 1，q 1，r ） f （p ，q ，r ） 6 f （p 1，q ，r 1） f （p 1，q ，r 1） f （p ，q 1，r 1） f （p ，q 1，r 1）}，其他情况时成立。 A2. 设a , a , a ,L是任意正数的无限序列。证明：有无穷多个n 使得不 0 1 2 等式1 an an 1 n 2 成立。 A3. 设x , x , L, x 为任意实数。证明： 1 2 n x x x 1 2 n L n 1 x 2 1 x 2 x 2 1 x 2 L x 2 1 1 2 1 n A4. 找出所有的函数：f : ，使得 f (xy)(f (x) f (y )) (x y )f (x )f (y ) 对所有的x , y 成立。 1/7 欢迎光临数学竞赛论坛 2001 IMO shortlist A5. 找出所有的正整数a , a , L, a ，使得下式成立。 1 2 n 99 a0 a1 an1 L 100 a a a 1 2 n 这里a 1,且（a 1)a a 2 (a 1)对k 1,2, L, n 1 0 k 1 k 1 k k A6. 证明：对所有的正实数a ,b, c ，有 a b c 1 （选为IMO 第2题） a2 8bc b 2 8ca c 2 8ab Combinatorics （组合学） C1. 设A (a , a ,..., a ) 为一正整数序列，m 为其三元子序列(a , a , a ) 1 2 2001 i j k 的数目，这里1 i j k 2001 ，且满足aj ai 1, 和ak aj 1 。考虑所有的序列A ，找出最大的m 值。 C2. n 为大于 1的奇数，c