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1999 IMO shortlist 1999 IMO shortlist (1999 IMO 备选题) Algebra （代数） A1. n 为一大于 1的整数。找出最小的常数C ，使得不等式 2 2 2 n x x (x x ) C x 成立，这里x , x , L, x 0 。并判断等号成立 i j i j i 1 2 n 1i j n i1 的条件。（选为IMO 第2题） A2. 把从1到n 2 的数随机地放到n n 的方格里。对于同一行或同一列 的每对数，可以算出大数除以小数的比。我们把这n 2 (n l) 个比的最 小数称为这次放法的 ‘特征’。试问 ‘特征’的最大值是多少？ A3. 有一个由n 个 （至少两个）女孩玩的游戏，每人有个球。任意位 n 置的每对 （共 种可能）女孩同时交换手中的球。如果最后没有人 2 手中拿有自己最初的球，则这个结果称为 ‘好的’；如果最后每人都 拿到自己最初的球，则称为 ‘无聊的’。试决定n 的值，使存在一个 ‘好的’结果，也存在一个 ‘无聊’的结果。 A4. 证明：正整数的集合不可以分为三个非空的集合，使得对任意属 于不同集合的x 和y ，x 2 xy y 2 属于第三个集合。 1/8 欢迎光临数学竞赛论坛 1999 IMO shortlist A5. 设实函数f : ，求出满足下列等式的f ： f (x f (y )) f (f (y )) xf (y ) f (x ) 1 。（选为IMO 第6题） A6. 对给定的实数a1 L an (n 3 )，我们有如下规则： (1).按一定的顺序排成一个圆圈； (2).从这圆圈中去掉一个数； (3).如果只剩下两个数，则其和为S 。否则，每个数用它本身和 圆圈上的下一个数的和来代替。然后又开始执行第2步。 n n 2 k 证明：用这种方法能得到的S 的最大为S ak 。 1 k 2 2 2/8 欢迎光临数学竞赛论坛 1999 IMO shortlist Combinatorics （组合学） C1. n 为正整数。在xy 平面内有一条从(0,0) 到(n, n) 的由下述规则决定 的路径：每次移动 一个单位，且为连续的移动，只能向右(称为E 移 动)或向上(称为N 移动)，因而在上x y 的上半平面。一个台阶是EN 两 次移动。证明：这条路径恰好有s 个台阶的路径数目，由公式 n 1 n 1 确定。 s s 1