福建省邵武七中高中数学课件 必修一： 用二分法求方程的近似解.pptVIP

[点评]　由方程f(x)＝0设函数y＝f(x)，在给定区间上判断是否存在零点，当存在零点时，用二分法依次取中点求值判断，直到x的值符合精确度要求为止．用二分法找函数的零点体现了逐步逼近的数学思想．通过不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而找到零点近似值． 变式体验1　利用计算器，求方程x3＋lgx＝18的近似解(精确度0.1) . 解：这个解记为x0， 设f(x)＝18－x3－lgx，用计算器计算，得 f(2)0，f(2.5)0，f(3)0，则x0∈(2.5,3)． 又f(2.5)0，f(2.75)0，则x0∈(2.5,2.75)． f(2.5)0，f(2.625)0，x0∈(2.5,2.625)， f(2.5625)0，f(2.625)0，则x0∈(2.5625,2.625)． 由于|2.5625－2.625|0.1，所以原方程的近似解为x0＝2.5625. 类型二　　用二分法求函数零点的近似值 [例2]　判断函数y＝x3－x－1在区间(1,1.5)内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)． [分析]　由题目可获取以下主要信息： ①判断函数在区间(1,1.5)内有无零点，可用根的存在性定理判断； ②精确度0.1解答本题在判断出在(1,1.5)内有零点后可用二分法求解． [解]　因为f(1)＝－10，f(1.5)＝0.8750，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间(1,1.5)内有零点，用二分法逐次计算，列表如下： 区间 中点值 中点函数近似值 (1,1.5) 1.25 －0.3 (1.25,1.5) 1.375 0.22 (1.25,1.375) 1.3125 －0.05 (1.3125,1.375) 1.34375 0.08 由于|1.34375－1.3125|＝0.031250.1， 所以函数的一个近似零点可取1.3125. 变式体验2　求函数f(x)＝x2－5的负零点(精确度0.1)． 解：由于f(－2)＝－10， f(－3)＝40， 故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如图： 由于|－2.25－(－2.1875)|＝0.06250.1， 所以函数的一个近似负零点可取－2.25. 区间 中点 中点函数值(或近似值) (－3，－2) －2.5 1.25 (－2.5，－2) －2.25 0.0625 (－2.25，－2) －2.125 －0.4844 (－2.25，－2.125) －2.1875 －0.2148 (－2.25，－2.1875) －2.21875 －0.0771 类型三　　二分法的实际应用 [例3]　一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点，如果线路不通的原因是由于焊接点脱落所致，要想检验出哪一处焊接点脱落，问运用二分法至多需要检测的次数是多少？ [解]　对焊接点一一检测很麻烦，当然也是不需要的．如图1所示，只需选线路AB的中点C，然后判断出焊接点脱落处所在的线路是AC还是BC，然后依次循环上述过程即可很快检测出焊接点脱落的位置．根据二分法的思想，具体分析如下： 第1次取中点把焊接点数减半为64÷2＝32个， 第2次取中点把焊接点数减半为32÷2＝16个， 第3次取中点把焊接点数减半为16÷2＝8个， 第4次取中点把焊接点数减半为8÷2＝4个， 第5次取中点把焊接点数减半为4÷2＝2个， 第6次取中点把焊接点数减半为2÷2＝1个， 所以至多需要检测6次． [点评]　本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用，通过取区间(或线路)的中点，依次使区间的长度(或焊接点个数)减半，就逐步逼近了函数的零点(或焊接点脱落处)，从而使问题得到解决． 变式体验3　2008年初我国南方遭遇了50年不遇的雪灾．雪灾发生后，停水断电，交通受阻．一日，某市A地到B地的电话线路发生故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？ 解：可以利用二分法的思想进行方案的设计． 如图2，可首先从中点C开始查起，用随身携带的工具检查，若发现AC段正常，断定故障在BC段， 再到BC段中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段， 再到BD段中点E检查，如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，即可将故障范围缩小到50～100 m之间，即可容易找到． 思 悟 升 华 1．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同，精确度为ε，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，此时区间内的任意值可作为零点的近似值；否则应继续计算，直到|a－b|ε为止． 2．用二分法求函数零点的近似值时，最好是将计算过程