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二维傅里叶分析 第一讲 光学中常用的几种非初等函数 δ函数 Ⅰ重要的基本概念和公式 δ函数性质 (1)筛选特性 (2)可分离变量 (3)乘法性质 (4)坐标缩放 (5)积分形式 Ⅱ 例题讲解： 证明： 此证明利用了关系式； Ⅲ 练习题： 计算题 已知连续函数f(x)， a0和b0 。求出下列函数： (1) (2) （提出：本题主要复习δ函数的缩放性质和筛选性质；梳妆函数的抽样特征和平移复制功能） 第二讲 卷积和相关 Ⅰ重要的基本概念和公式 卷积定义：设f(x)和h(x)是两个复函数，其卷积定义为： 卷积运算的意义：一个函数绕函数轴反转并沿自变量轴做某一平移后与另一函数的重叠面积。 相关的定义及其运算性质 两个复函数f(x,y)和h(x,y)的互相关定义为： ★ 相关运算的四个步骤：第一函数取共轭(两函数变量变换(第二函数平移(相乘积分。 互相关与卷积的比较： 1）互相关时有一函数要取复共轭，而卷积没有； 2）互相关图形不需要反转； 3）两者在位移、相乘和积分这三个过程是一样的。 互相关的意义：衡量两个函数间存在的关联程度，两信号关联程度高互相关值就大。 Ⅱ 例题讲解： 证明： 证明：相关与卷积的关系 Ⅲ 练习题： 证明题 若，试证明；即参与卷积的一个函数发生平移，卷积的结果也仅仅发生平移。 证明：根据卷积的定义，已知 证明 根据卷积的定义写出积分表达式，然后再根据δ函数的筛选性质。 思考题 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N。 第三讲 第四讲 傅里叶变换的基本性质和基本定理 Ⅰ重要的基本概念和公式 复函数f(x,y)的傅里叶变换定义为: 其中称为像函数(或频谱)，f(x,y)称为原函数.两者构成傅里叶变换对； 傅里叶变换基本定理(重点) 1.线性定理 2.缩放和反演定理 3.位移定理 4. Parseval定理 (能量守恒定理) 5.卷积定理 6. 互相关定理 (表示互功率谱) 7.迭次变换定理 即对函数f(x,y)连续作两次傅立叶变换或逆变换，得其“镜像”（傅立叶变换的对称性）。光学模型为4f 成像系统 8.积分变换定理 9.共轭变换定理 10.空间周期与空间频率 试证明 Ⅱ 例题讲解： 证明下面的傅里叶变换关系式 根据傅里叶变换的定义，写出它的积分表达式： 同理，把此结果和矩形夫琅和费衍射的结果相比较。 计算题 求的傅里叶变换。 解： 单色平面波的复振幅表达式为，求此波在传播方向的空间频率以及在x，y，z方向的空间频率。 解：由题设知 2分 且 应用卷积定理，求tri(x∕a)的傅里叶变换。 解： 上式 第五讲 线性系统与线性空间不变系统和二维采样定理 Ⅰ重要的基本概念和公式 线性系统：若一个系统同时具有叠加性和均匀性，即有： 则称该系统是线性系统。 平移不变性: 若 则称该系统具有平移不变性。 所谓平移不变性就是当输入产生平移时，输出也仅发生平移，形式不变。 线性平移不变系统: 既具有线性又具有平移不变性的系统称为线性平移不变系统。 线性平移不变系统的空域描述： 由FT的卷积定理：可得：线性平移不变系统的频域描述为 其中：G(u,v)、F(u,v)和H(u,v)分别是g(x,y)、f(x,y)和h(x,y)的频谱。 线性平移不变系统的本征函数 对于一个系统，若存在一个函数 f(x,y)，满足条件： 则称该函数为该系统的本征函数。 线性平移不变系统的本征函数是复指数基元函数，即： ，也是δ函数。脉冲响应是实函数的线性平移不变系统, 其本征函数是正、余弦函数；即： Ⅱ 例题讲解： 光学傅里叶变换可看成是函数到其频谱的变换，试回答 （1）这个系统是线性的吗？ （2）这个系统具有线性不变性质吗？为什么？ 答 傅里叶变换有线性性质。设 a，b为常数，则 函数有空间位移时其频谱有相移，并不会产生频谱移动。因此傅里叶变换没有线性平移不变性。 写出物光场U(x,y)的二维傅里叶变换表达式，并说明其物理意义。 解：任意光场U(x,y),其二维傅里叶逆变换为 其中U(fx,fy)dfxdfy是平面波exp[i2((fxx+fyy)]的振幅，平面波的传播方向由空间频率（fx,fy）和，试计算各自对输入函数的响应。 解：对与线性平移不变系统，脉冲响应的傅里叶变换是系统的传递函数 所以 输入频谱为 对于系统1的输出频谱为 对于系统1的输出函数也为 0 ，