梁的内力.PPT

外力使脱离体产生顺时针转动趋势时为正 从强度的观点来看，等强度梁最经济，能充分发挥材料的潜能，是一种非常理想的梁，但是从实际应用情况分析，这种梁的制作比较复杂，给施工带来好多困难，因此综合考虑强度和施工两种因素，它并不是最经济合理的梁。在建筑工程中，通常是采用形状比较简单又便于加工制作的各种变截面梁，而不采用等强度梁。 弯曲应力 图示为建筑工程中常见变截面梁的情况。 弯曲应力 x FP A B y 　 梁在受到荷载作用产生平面弯曲时，它的轴线由原来的直线变成了一条光滑而连续的平面曲线。梁变形后的轴线称为挠曲线。　 一、挠曲线及挠曲线方程 挠曲线是x的函数用方程y=f(x)表示，称为梁的挠曲线方程。 　量度弯曲变形有两个基本量挠度和转角 第八节 梁的挠曲线近似微分方程 弯曲变形 任一横截面绕其中性轴相对于原来位置所转过的角度，称为该截面的转角，一般用?表示。 二、挠度和转角 梁弯曲时，任一横截面的形心（即轴线上的各点）在垂直于x轴方向（即沿y轴方向）的线位移，称为该截面的挠度，一般用y表示。 在图示坐标中 对挠度的符号规定为：向下的挠度为正，向上的挠度为负。 对转角的符号规定为：顺时针转动为正，逆时针转动为负。 挠度的单位是m、cm、mm。 转角的单位常用弧度（rad）。 x FP A B y ?C C C’ 弯曲变形 由于梁上任一截面的转角?就等于挠曲线在该截面处的切线与x轴所夹的角，因此 由于梁的变形很小，转角?是一个很小的角度，所以 于是有 梁任一横截面的转角等于挠曲线在该点的切线斜率，即转角等于挠曲线y=f(x) 的一阶导数。我们把转角随截面位置变化的函数式 ， 称为转角方程。 弯曲变形 三、挠曲线近似微分方程 由前面推出的梁变形基本公式 　　对于横力弯曲，若l/h≥5时，剪力对弯曲变形的影响很小，可略去不计，上式仍然适用，而且此时M、ρ均为x的函数，故上式改写为： 弯曲变形 平面曲线的曲率为 略去二阶无穷小量 弯矩的正负号与挠曲线曲率的正负号相反 x y M M x y M M M0 y″0 M＜0 y″＞0 弯曲变形 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式： 积分式中出现的积分常数C、D可通过梁的边界条件确定。 第九节 积分法计算梁的挠度和转角 积分一次 再积分一次 弯曲变形 边界条件：梁产生弯曲变形时挠曲线上由变形相容条件确定的一些已知位移条件。 A B C FP FP A B 固定端处的转角 ?A=0 挠度 yA=0 在支座处只能转动而不能移动，所以在铰支座处的挠度yA=0及yB=0 弯曲变形 简支梁在C截面处有边界条件： 由于挠曲线是一条光滑连续的弹性曲线，在曲线上任一点处只能有一个转角，一个挠度，因此，对于在梁长度范围内EIz不变的等直梁，当梁上的弯矩方程需要分段写出时，虽然各段梁的挠曲线近似微分方程不同，但在相邻两段梁的交界处位移是唯一的，这种条件也是一种边界条件。 A B C FP 弯曲变形 用积分法计算梁的转角和挠度时基本步骤是： ⑴ 建立坐标系，根据梁上的荷载情况列出梁的弯矩方程。 ⑵ 对应各梁段的弯矩方程，列出挠曲线近似微分方程，并进行积分。 ⑶ 利用边界条件确定积分常数。 ⑷ 确定转角方程和挠曲线方程，并按要求计算指定截面的转角和挠度或求最大转角、最大挠度等。 弯曲变形 q A B l C FAy FBy 例 图示简支梁受满跨向下均布荷载q作用，已知梁为等截面直梁，在全梁范围内抗弯刚度EI为常数，试求A、B支座处的转角及梁的最大挠度。 解：(1) 建立图示坐标，并列梁的弯矩方程 y x 弯曲变形 A B l C FAy FBy x y x 弯矩方程为 (2) 建立梁的挠曲线近似微分方程，并积分 积分一次得 再积分一次得 (b) (a) 弯曲变形 (3) 由边界条件确定积分常数。 简支梁在支座处挠度为零，即 将x=0时，yA=0代入(b)式得 D=0 将x=l时，yB=0代入(b)式得 (4) 确定转角方程和挠曲线方程。 （?） 转角方程： 挠曲线方程 弯曲变形 由于该简支梁的外力及边界条件均对称于跨中截面，因此梁的挠曲线也对称于跨中截面，由挠曲线可知，最大挠度一定在跨中截面C处。 求指定的转角和挠度 弯曲变形 第十节 叠加法计算梁的挠度和转角 所谓叠加法，就是指结构在多个荷载作用下产生的某量值（包括反力、内力或变形等）等于在每个荷载作用下产生的该量值的