经典中值定理与导数应用(学习指导).docVIP

第三章 微分中值定理与导数的应用 3.1 中值定理及其应用 1 学习指导 1. 基本要求 ⑴ 掌握罗尔定理、拉格朗日定理，理解柯西定理，了解泰勒定理；会用中值定理的结论解决一些问题，如证明方程根的存在性、证明不等式等。 ⑵ 掌握函数的麦克劳林公式，会用泰勒公式做近似计算和估计误差。 ⑶ 掌握洛必达法则的条件和结论，熟练运用洛必达法则求未定式的极限。 2. 重点与难点 重点：罗尔定理，拉格朗日定理，洛必达法则。 难点：中值定理的证明和应用，特殊类型未定式极限的求法。 3. 学习方法 ⑴ 微分中值定理揭示了函数与其导数之间的内在联系，它们是利用导数研究函数的理论根据，其中拉格朗日定理为核心，罗尔定理是它的特殊情形，而柯西定理与泰勒定理是它的不同形式的推广。 ⑵ 四个中值定理具有以下共性： ① 建立了函数在一个区间上的增量（整体性）与函数在该区间内某点处的导数（局部性）之间的联系，从而使导数成为研究函数性态的工具。 ② 它们都只是中值的存在性定理且定理本身未提供在区间内的准确位置，而仅显示介于区间的两个端点与之间，注意不能将中值理解为区间的中点。一般来讲，除了较简单的函数能求出中值的精确值外，通常的值很难确定，但它的存在性在理论和实际中仍有广泛的应用。 ③ 中值定理的条件都是充分而非必要的。这就是说，当条件满足时，结论一定成立；但当条件不满足时，结论也可能成立。 ④ 如果用条件“在上可导”去代替条件“在内可导”，定理的结论仍然成立，但适用范围将相应缩小，如在上满足罗尔定理条件，故存在，，但在都不存在。 ⑤ 罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理三个中值定理具有相同的几何意义：对于内处处有非铅直切线的曲线来说，其上至少有一点处的切线与联结两个端点与的弦平行。 ⑶ 通常称拉格朗日中值定理的结论为拉格朗日中值公式，常用的拉格朗日中值公式有下列形式： ① （介于与之间）； ② （介于与之间）； ③ ； ④ （介于与之间）； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ （介于与之间）。 其中是内任意两点且. ⑷ 求函数的泰勒公式有两种方法： 直接法：求出函数在处的各阶导数及 ，代入公式即得。 间接法：利用已知函数的麦克劳林公式，通过四则运算、复合运算或变量代换等，得所求函数的泰勒公式。 几个常用的初等函数的麦克劳林公式为： ① ② ③ ④ ⑤ 为实数），这里，余项为柯西型余项。 ⑸ 求未定式极限的洛必达法则是柯西中值定理的一个应用，它是求极限的一个重要方法，应注意只有“”型、“”型的极限才可以直接用洛必达法则，而对“”型等其他未定式极限，必须通过通分、取对数等变形方法将其转化为“”型或“”型后，才能使用洛必达法则。 ⑹ 中值定理的应用非常广泛，有关中值定理的计算题与证明题是其重要的组成部分，掌握这方面的解题方法和技巧是高等数学的基本要求，中值定理的主要应用为： ① 求极限 与中值定理有关的求极限的方法主要有：利用洛必达法则求未定式的极限；当极限式中出现的增量形式时，可考虑利用拉格朗日中值公式；利用麦克劳林公式.在利用麦克劳林公式求极限时，一般要用到如下的性质：当时，有 ， ； ② 研究函数或导数的性态 由于微分中值定理都是以某种形式表示函数与导数之间的联系，所以它们是由函数性质去研究导数性质或是由导数性质去研究函数性质的理论依据，如利用拉格朗日中值定理研究函数的单调性（见3.2节）等。 ③ 证明恒等式 设在区间Ⅰ上可导，C是任意常数，则在Ⅰ上有 由此便可证明恒等式，方法是构造函数，将欲证等式表为，求得，从而知是常数，此常数恒等于它在Ⅰ上的任一函数值，故任取Ⅰ，计算，便得，从而. 有时为求导数简便，也可利用结论 进行证明，其中在Ⅰ上可导且C为常数。 ④ 证明不等式 将中值定理结论所得等式的一端放大或缩小，便得到不等式，一般地，将欲证不等式经过简单变形，如果不等式一端形如，可利用拉格朗日定理；如果不等式一端形如，可利用柯西定理；如果不等式中有一部分是次多项式，或题设条件中函数具有二阶或二阶以上的导数且最高阶导数有界或大小可知，可利用泰勒定理证明。 ⑤ 证明方程根的存在性或惟一性 微分中值定理的共同特点之一，就是指出在某个区间内至少有一点，使某个等式成立，这就为判断方程根的存在性提供了理论依据，特别是罗尔定理的结论，换种说法就是，某个方程在指定区间内至少有一个实根，因此它在判别方程根的存在性问题中应用最多。一般地，研究含有导数的方程在某区间上存在实根，如果方程中仅含有一阶导数，常用罗尔定理，有时也用拉格朗日定理或柯西定理；如果方程中有二阶及二阶以上的导数，则用罗尔定理或泰勒定理。研究方程根的惟一性，一般是利用函数的单调性讨论，有时也利用中值定理采用反证法讨论。 ⑥ 讨论中值的存在性 讨论中值存在性