Ch2-3-1连续与间断.pdf

§2.3 函数的连续性 考察下列图形 y y y 0 a x 0 a x 0 a x y y y x 0 a x 0 a x 一、函数连续性的定义 定义 设函数f (x ) 在x x 0 的邻域内有定义，如果 lim f (x ) f (x 0 ) ， x →x 0 则称函数f (x ) 在x 0 处连续，x x 0 为f (x ) 的连续点。 ε−δ 语言描述： ∀ε 0，∃δ0，当| x −x 0 |δ 时，有| f (x ) −f (x 0 ) |ε，则称 f (x ) 在x 0 处连续。 由于 lim f (x ) f (x 0 ) 等价于 lim [f (x ) −f (x 0 )] 0， x →x 0 x →x 0 记∆x x −x ，∆y f (x ) −f (x ) 0 0 增量语言描述: 当自变量的增量 ∆x x −x 0 →0 时，对应函数的增量 ∆y f (x ) −f (x ) →0 f (x ) x ，则称函数 在点 处连续。 0 0 ⎛ ⎞ 注: 若f (x ) 在x 0 处连续， 则 lim f (x ) f (x 0 ) f ⎜ lim x ⎟， x →x 0 ⎝x →x 0 ⎠ 说明极限符号 lim 可以和函数符号f 交换运算次序。 定义 若f (x 0 −0) f (x 0 ) ，则称f (x ) 在点x 0 左连续； 若f (x 0 +0) f (x 0 ) ，则称f (x ) 在点x 0 右连续。 结论 f (x ) 在点x 0 处连续 ⇔ f (x ) 在点x 0 既左连续又右连续。 定义 ∀x ∈(a ,b) ，f (x ) 在点x 处连续，则称f (x ) 在(a ,b) 内连续； 若f (x ) 在a 处右连续，在b 处左连续，则称f (x ) 在[a ,b] 上连续。 例1 讨论函数f (x ) | x | 在(−∞, +∞) 上的连续性。 ⎧x , x ≥0 解 f (x ) ⎨ −x , x 0 ⎩ a 0 时， lim f (x )