浙江大学数学分析考研试题77.docVIP

浙江大学2004年数学分析考研试题. 一. 设函数在区间上有定义，试证明：在上一致连续的充分必要条件是对区间上任意两数列与， 当时，有. 证明：必要性 设在上一致连续，则对，，当，时，有 . 由，对于上述，，当时，有， 从而有 ， 所以. 充分性：用反证法 假设在上不一致连续，则，对，存在，尽管，但， 不妨取，存在，尽管，但， 上述，满足， 但是，与条件,矛盾. 设函数在区间内具有直到三阶的连续导数，且， ，试证明：绝对收敛. 证明：由，得，， ， ， 于是 ， 再由级数收敛，得收敛，所以绝对收敛. 设函数在区间上可微，且在点的右导数，在点的左导数，，试证明：在内至少有两个零点. 证明：由，存在，； 由，存在，. 由连续函数的介值定理：存在，使得 ，， 再由罗尔中值定理，存在，使得 ， 存在，使得 ， 所以在内至少存在两个零点. 设函数在区间上Riemann可积，且. 试证明：存在闭区间，使得当时，. 证明：反证法，假设对任意区间，都存,使 ， 任意分割，都存在,使得 , 于是 ， 与题设条件，矛盾. 证明：若一族开区间覆盖了闭区间，则必存在一个正数，使得中任何两点，满足时，必属于某个开区间. 证明：对于每一个，由于覆盖了，存在，使得， 又由是开区间，存在，使得， 显然开集族亦覆盖了区间， 根据有限覆盖定理，存在有限个，使得 就能覆盖了， 取，对任意，当时， 存在，有， ， 于是，结论得证. 用球面坐标，，，变换方程 . 解：与的关系为 ，，， ，，，， 由，得 ， ， ， 在两边对求偏导数得 ， 所以 ， 同理 ， ， 由两边对求偏导，得 ， 所以 ， 同理 ， ， 因为， ，，， 所以把上述关系式代入微商连锁关系，得 ， （1） ， （2） , （3） 注意到是相互独立的， ， （4） ， （5） ， （6） 将（4），（5），（6）式两边相加，并利用， ， 及，得 ， 即拉普拉斯算符在球面坐标系中表示为 . 计算. 解： ，  ， 故. 求在条件下的最大最小值，其中 . 解：， ， ， ， ， 解得 ，，， 所以最大值为，最小值为. 利用公式，，计算，（说明计算过程中每一步的合理性）. 解： ， 考察,其中，利用公式，，计算，其中， 关于一致收敛， ， 关于一致收敛， 且存在，所以积分可以交换次序， ， 令，则得 ， ; 于是 ， 故 . （1）设为中光滑区域，为其边界，，在上有连续二阶偏导数. 证明：，其中为沿边界外法线方向的导数，为边界上的面积元，. 的坐标为，函数 ，证明：在上成立. 设是以为中心，为半径的球面，为其边界，若在上满足，则. （1）证明：即格林第一公式，格林第