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关于积分上限函数的性质和应用 论文作者： 指导老师： 专 业：信息与计算科学 本科专科：本科 年 级：2011级 提交日期：2012年5月31 日  目录 一、上限函数的定义与性质 5 二、 积分上限函数的应用 7 2.1 积分上限函数在单调性的应用 7 2.2 证明方程根的应用 8 2.3 积分上限函数在证明不等式题中的应用 9 2.4 积分上限函数在证明恒等式题中的应用 10 2.5在求导中的应用 11 2.6在极值中的应用 12 2.7在求原函数中的应用 14 2.8求解函数方程 14 2.9证明积分中值定理 15 2.10上限函数在重积分上的应用 16 2.11上限函数在函数关系中的应用 16 结束语 17 致谢 17 参考文献 17   摘要：积分上限函数是积分学中一类具有特殊形式的函数，对积分上限函数的性质进行研究，并用于解决一些微积分问题，还得到了比较好的结论。本文利用积分上限函数的性质讨论一些特殊函数的求导数、求极限、求单调性、求解函数方程、在函数关系上的应用、在连续性方面的应用、证明方程根的应用、在计算重积分上的应用、证明不等式、证明中值定理。 关键词：积分上限函数；性质；积分 一、上限函数的定义与性质 设函数f（x）在区间[a,b]连续，则f（x）在[a,b]上可积，对任意的x∈[a,b]，则存在，即这个积分是上限x的函数。由于积分与变元素采用的记号无关，这个积分也常记作。将这个函数记作Φ(x)=。 定理1 、若函数在区间连续，则积分上限函数 在有连续的导数，且， 即积分上限函数是被积函数的一个原函数。 证明：设，取，使则有 已知函数在闭区间连续，则由积分中值定理，至少存在一点,使 = 取，（） 则，或 又由函数在的连续性，有 即，。 由此可见，尽管定积分与不定积分（原函数）的概念是完全不同的，但是二者之间存在着密切的联系。 在区间上的连续函数存在原函数，而积分上限函数就是的一个原函数。 定理2 、若是周期为T的连续函数，则是周期为T的函数，其中，为任意常数。 证明： （1） 又因为是周期为T的连续函数，所以有 且。 从而 （2） 把（2）代入（1）得 故是T为周期的函数， 该定理告诉我们当是具有周期为T的连续函数，则可以表示为一次函数与周期为T的函数之和。 二、 积分上限函数的应用 2.1 积分上限函数在单调性的应用 1、设，并且时，。 证明：函数在内为增函数. 证明：当时，分母，所以在内有定义由定理1.4得，当时 ；. 故 ， ，即 从而在内为增函数。 2、 设是上连续奇函数且单调上升，。 求证：（1）是奇函数； （2）在上单调减函数. 证明：对（1）， 故是奇函数。 （2） 因为在上单调上升，所以，又因为是奇函数，所以，对时，有 故函数在上单调减，又因为。 所以函数在上单调减函数。 2.2 证明方程根的应用 1、设在上连续，且又 求证：在内有且仅有一个实根. 证明： ∴ 又而 故在内单调增加，所以在内至多有一个实根。 且在上连续，故根据根的存在定理，在内至少有一个实根。 在内有一个且仅有一个实根。 2、设是上的连续函数，且， 求证：方程在上有且仅有一个实根. 证明：令，由于 所以而， 由的连续性可知， 在上有且仅有一实根。 2.3 积分上限函数在证明不等式题中的应用 1、（不等式）若和在上连续，则. 证明：令， 则 所以在上单调增加，从而=0 2、设是上的连续函数，并且严格单调减小，又设，求证：对于任意的 证明：记，因为单调减小，则 ， 所以单调减小，又 ， 故 ， 即 。 2.4 积分上限函数在证明恒等式题中的应用 1、设函数在上连续，在任意区间，有不等式 (为正常数) 试证：在上，. 证明：令，由于在上连续，所以，对任意的，于是由，有 即 ，因此 在上， 。