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第一章 函数与极限 一、无穷小的应用 1、 (09)设时,与是同阶无穷小,则_________3______； 2、(07) [3分] 设，则当时（B） A.与是等价无穷小量 B. 与是同阶但非等价无穷小量 C. 是比高阶的无穷小量 D. 是比低阶的无穷小量 二、求定义域、极限、特殊极限、连续性 1．(06)[3分] 函数的定义域是 2、(06) [3分] 3、(06) [3分] 极限 （D） A. B. C. D. 不存在 4、(08) [5分] 设，求 解： 5、(07) [3分] 6、(08) [5分]求极限 解：原式 7、(07) [3分]在下列函数中，在定义域上连续的函数是（B） (A) (B) (C) (D) 三、间断点的判断及类型 1、(08) [3分] 设，则的间断点为，它是第 二 类间断点 2、(09)已知，指出函数的间断点及其类型． 为间断点……….2分 ………3分 从而为第一类跳跃间断点，为第一类可去间断点，为第二类无穷型间断点 ………………………………………………………………………………..1分 3、(06) [本小题8分] 设有无穷间断点，有可去间断点，求的值 解 由，得 因存在，故 从而 第二章 导数与微分 导数、定义、高阶导数 2．(06) [3分]设，则 2．(08) [3分]若，则 2．(09)设，则； 2、(08) [5分] 已知有一阶连续导数，且，求极限 解：原式= 2(07)求曲线在拐点处的切线方程 解：， 令，由于时，时，为拐点 故要求的切线为： 2、(07) [3分] 设，则（D） A. B. C. D. 微分 2．(07) [3分] 设，则 2．(06) [3分] 设，则 2．(08) [3分]设可微，且，则 2．(09)由方程确定了隐函数，求微分． ……………5分 即……………1分 隐函数方程 2(08)设函数由方程确定，求 解：对方程两边求导书 两边求导书，得 参数方程 2(08)设函数由参数方程确定，求曲线向下凸的的取值范围 解： 曲线下凸要求，即 因此对于，由于在端点连续，可取的取值范围为 2．(09)求由参数方程所确定函数的二阶导数． ……………3分 …………….3分 2(07) 设参数方程，求 解：， 2(06)设确定了是的函数，求 解 分段函数的连续性、可导性 2(07) [本小题8分] 确定常数的值，使函数在处连续且可导 解：， ， 由在处连续知 由在处可导知 2(08)设具有二阶连续导数，且，若 （1）确定，使在内连续； （2）求 解：（1）连续则必有 (2)当时 而 所以 2(09)设函数在点处可导，求的值． 从而…………3分 由可导知……………………………………………………..2分 2(06) [本题9分]设，讨论及在处的连续性 解 因为，故在处的连续 当时， 故在处连续 2 (06) [本题10分]设在连续、可导且单调增，， 证明：在内也单调增 解 因，故在处连续 记在与之间 当 从而在内。 又在处连续，故在单调增， 当 从而在内。 又在处连续，故在单调增， 综上述，在内也单调增 第三章 微分中值定理与导数的应用 求极值的应用 1、(06)在曲线上求一点，使它到点的距离为最小 解 设 求得唯一解，又 故在唯一驻点处取得极小值也是最小值 相应地，故所求点为 2、(07) [3分] 设在上严格单调减少，在处有极大值，则（A） A. 在处有极小值 B. 在处有极大值 C. 在处有最小值 D. 在处既无极值也无最值 洛必达法则的应用 1、 (06) 计算极限 解 原式 2、 (09)已知，试确定常数和的值． 用罗比达法则…….2分 ……….3分 拐点、渐近线 1、(09)若曲线的拐点为（1, 3），则常数，； 2、(09)曲线的渐近线方程为； 泰勒公式 3、(09)在处带有皮亚诺型余项的阶泰勒公式为 ． 4、(08)设在上二阶导数连续，且，证明：在上至少存在一点使得 证：令，则由已知，在上三阶导数连续，在处作二阶泰勒展开，有 从而（由介值定理） 另证：由已知在处作一阶泰勒展开，有 由最值定理有，由对称区间积分性质 由估值公式 从而，由介值定理使 因此 罗尔、拉格朗日 1、(06) [3分] 下列函数在上适合罗尔定理条件的是（B） A. B. C. D. 2、(09) (本题5分)设函数在上连续，且，，试证： （1）存在 ，使得； （2）若在上可导，则存在，使得． （1），由积分第一中值定理的，存在 ，使得，故存在 ，使得……….3分 （2）由积分中值定理，存在，使得.由拉格朗日中值定理， 则存在，使