西安交通大学-刘国荣-离散数学第五章函数2.pptVIP

离散数学 西安交通大学 电子与信息工程学院 计算机软件所 刘国荣 离散数学 第五章 函数 §1.函数的基本概念 §2.函数的复合 §3.集合的基数　势理论 离散数学 　 第五章 函数（function） §1.函数基本概念 定义1.函数(映射(map)、变换(transformation)) 函数是后者唯一的关系。即 f是由X到Y的函数，记为f :X?Y ? f ?X?Y?(?x?X)(?y?Y)(?z?Y)((x, y)?f ?(x, z)?f ?y=z) 。 注：函数概念主要是限制了关系概念中的一对多；但允许多对一；　 离散数学 　 离散数学 ●与函数概念关联着的一些概念 (1)若(x, y)?f ，则函数惯用的记法是y= f(x)；称x为自变量，称y为因变量。 (2)此定义可容纳多值函数 f :X?Y ， f(x) = y1, y2 ,?,yk 其修改为 f :X?2Y ， f(x) = {y1, y2 ,?,yk}?2Y 。 (3)定义域(domain)：称f的前域为f的定义域。即 ?(f)={x : x?X ?(?y?Y)((x, y)?f )} ={x : x?X ?(?y?Y)(y= f(x))} 离散数学 　 (4)值域(range)：称f的后域为f的值域。即 ?(f)={ y : y?Y?(?x?X)((x, y)?f )} ={y : y?Y?(?x?X)(y= f(x))} 。 (5)象(image)：子集A ?X的象定义为 f(A)={y : y?Y?(?x?A)((x, y)?f )} ={y : y?Y?(?x?A)(y= f(x))} 。 (6)逆象(inverse image)：子集B?Y的逆象定义为 f -1(B) ={x : x?X?(?y?B)((x, y)?f )} ={x : x?X?(?y?B)(y= f(x))} ； 离散数学 　 特别地，单元素y?Y的逆象是 f -1({y}) ={x : x?X?(x, y)?f } ={x : x?X?f(x)=y} 。 (7)全函数（full function）：处处有定义的函数。即 ?(f)=X （或者f -1(Y) = X） 今后，在本课程中，除非有特别声明，我们一概研究全函数。 离散数学 　 离散数学 例2.计算机是一个函数。即 计算机:输入空间?输出空间； 　 编译是一个函数。即　 编译:源程序?目标程序　。 例3.绝对值函数(absolute value function) 　　　 f ={(x,|x|) : x?R} 　(这里R是实数集)　或者 　　　 f :R?R+?{0} ， f(x) = |x| 　 　 　 (这里R+={x: x?R?x?0}是正实数集)，于是 　　　 ?(f)=R , ?(f)=R+?{0}； 绝对值函数可以拆成两个函数的并。即 f = f1 ? f 2 ，