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第六章 粒子在位置空间中的运动 I 在位置表象中描述量子态. R 表象, 或Q 表象. 在直角坐标系中, 位置算子 (X Y Z ) 动量 (P P P ) 在位置表象中的表示 x y z −→ −i∇ 或者 Px −→ −i Py −→ −i Pz −→ −i x y z ¨ Schrodinger 方程在位置表象中的形式 ( t) 2 2 i − ∇ ( t) V( t)( t) t 2m 当势能V( t) 不显含时间的时候, 可 以进行变量分离. ( t) ()T (t) 变量分离后, 可 以得到这样形式的方程 空间部分的方程 时间部分的方程 E 这里 E 是常数. 容易解出时间部分的方程, T (t) e−iEt 空间部分的方程实际上就是粒子的Hamilton 量的本征方程, H () E () (1) 在位置表象中, 方程(1) 是关于空间位置坐标的二阶偏微分方程. 1 ¨ Schrodinger 方程的形式很像波动方程, 而且, ( t) 也被称为波函数, 所 以, 很容易有这样的看 法: ( t) 就像是在三维空间中传播的波, 或者说, 用波场描述一个粒子, 或者说, 粒子就像是 一个波包. 但是, 这样的一些看法是不恰当的. 我们看两个例子. 设想一维空间中的势能 V(x) 是一个势垒. 一束粒子从左侧入射(如下 图所示). 有反射束和透 射束, 分别用两个探测器 Dr 和Dt 检测反射粒子和透射粒子. Dr 反射 透射 D t 入射 假设粒子 的反射几率和透射几率都是12, 即 p r p t 1 , 那么, 两个探测器 同时有响应 的几率 2 是多少? 3 ∫︀ 2 3 粒子在三维空间 中的某个体积 中被观测到的几率是 |( t)| d r. 考虑这个几率随时间 的变化率, ∫︁ * 3 ∫︁ (︁* * )︁ 3 d r d r t t t i ∫︁ (︀ * 2 2 *)︀ 3