高等数学教学课件-第九章 多元函数积分学.pptVIP

9.4 重积分的应用 从前面的讨论中，我们知道曲顶柱体的体积可以用二重积分来求解，空间体的体积可以用三重积分来求解，本节对二重积分和三重积分在几何和物理上介绍一些其他的应用. 9.4.1在几何上的应用 1求曲面的面积 设曲面S由方程z=f（x，y）给出，D为曲面S在xOy面上的投影区域，函数f（x，y）在D上具有连续偏导数f′x（x，y），f′y（x，y），现要计算曲面S的面积A.在D上任取一很小的闭区域dσ，并记该区域的面积为dσ，在dσ上任一点P（x，y），对应于曲面S上有一点M（x，y，f（x，y）），点M在xOy坐标面上的投影点即为 P.点M处的曲面S的切平面为T，如图9.30所示.以小区域dσ的边界为准线，作母线平行于z轴的柱面切平面T一小区域dA，用该区域近似代替相应曲面上截得的小区域的面积.设点M处曲面S上的法向量与z轴的夹角为γ，则dA=dσcos γ，又因为cos γ=11+f′2x（x，y）+f′y2（x，y），即dA=1+f′2x（x，y）+f′y2（x，y）dσ，上式就是所求曲面的面积微元，于是所求曲面的面积为A=D1+f′2x（x，y）+f′2y（x，y）dσ.上式通常也写成A=D1+zx2+zy2dxdy. 【例1】求半径为R的球的表面积. 解：根据球面的对称性，只要求出球面在第Ⅰ卦限的表面积A1，然后再乘以8倍，即为所求球面的表面积.在第Ⅰ卦限中，球面方程为z=R^2-x^2-y^2，它在第一象限中的投影区域D为D={（x，y）|x2+y2≤R^2，x≥0，y≥0}. 第九章 多元函数积分学 二重积分的概念和性质 9.1 三重积分 9.3 重积分的应用 9.4 二重积分的计算 9.2 9.1 二重积分的概念和性质 多元函数积分学主要包括重积分、曲线积分以及曲面积分等.根据教学要求，本章主要介绍二重积分的有关概念、计算和应用.二重积分在解决问题中所体现的思想和方法同定积分是一致的，而且对它的计算最终仍归结到定积分上来.可见多元函数积分学是对定积分的一种推广和拓展. 9.1.1二重积分的概念 首先让我们来认识一种几何体：曲顶柱体. 设函数z=f（x，y）在有界闭区域D上连续，且f（x，y）≥0，以曲面z=f（x，y）为顶，以区域D为底，且以xOy平面上D的边界为准线而母线平行于z轴为侧面的几何体，称为曲顶柱体.如图9.1所示. 引例求上述曲顶柱体的体积V. 分析由于该几何体的高会随着z=f（x，y）而变化，所以我们不可能用底面积乘以高来计算它的体积，但是如果我们利用像解决曲边梯形面积的思想和方法来解决此题，相比就容易多了.为此，我们可以作如下的解答. （1）区域分割 将区域D任意分成n个小区域，依照曲顶柱体的规定，从而将整个曲顶柱体分割成了n个小的曲顶柱体，用Δσi表示第i块小的区域，同时用Δσi表示该区域的面积.（2）近似表示 在Δσi上任取一点（ξi，ηi），用底为Δσi，高为f（ξi，ηi）的平顶柱体来近似代替该区域上小的曲顶柱体的体积ΔVi，如图9.2所示，即ΔVi≈f（ξi，ηi）Δσi， （3）求和式 于是整个曲顶柱体的体积V，就可以用n个小的平顶柱体体积ΔVi来近似表示出来，即V≈∑ni=1f（ξi，ηi）Δσi， （4）取极限 引入参数λ，它表示被分割的小区域Δσi中直径的最大值（区域的直径是指有界闭区域上两点间距离最大的值），如果极限limλ→0∑ni=1f（ξi，ηi）Δσi存在，则所得的极限值就是我们要求的曲顶柱体的体积V，即V=limλ→0∑ni=1f（ξi，ηi）Δσi. 如果抛开上述问题的实际含义，我们就能得到二重积分的概念. 定义9.1设函数z=f（x，y）是有界闭区域D上的有界函数，将区域D任意分成n个小区域Δσ1，Δσ2，…，Δσi（i=1，2，…，n），用Δσi表示第i块小的区域，同时用Δσi表示该区域的面积，在Δσi上任取一点（ξi，ηi），作乘积f（ξi，ηi）Δσi（i=1，2，…，n），并求和式∑ni=1f（ξi，ηi）Δσi，取参数λ，它表示被分割的小区域Δσi中直径的最大值（区域的直径是指有界闭区域上两点间距离最大的值），如果极限limλ→0∑ni=1f（ξi，ηi）Δσi存在，则称函数z=f（x，y）在区域D上可积，极限值称为函数z=f（x，y）在区域D上的二重积分，记