高等数学（工科类）第八章 无穷级数.pptVIP

例2 解 例3 解 两边积分 得 即 注意: 牛顿二项式展开式 双阶乘 2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分,复合等方法,求展开式. 例如 解 例4 定义1: 一、函数项级数 第四节 函数项级数与幂级数 收敛点与收敛域: 3.和函数: (定义域是?) 函数项级数的部分和 余项 注意 (x在收敛域上) 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题. 解 由达朗贝尔判别法 原级数绝对收敛. 收敛; 发散; 原级数发散. 二、幂级数及其收敛性 1.定义2: 2.收敛性: 证明 由比值审敛法, 定理证毕. ① 若 在 x0 处收敛 则 ② 在 x0 处发散 若 则 ③ 若 在 x0 处条件收敛 则 这是幂级数收敛的特性 注 利用该定理求收敛半径要求所有的 或只有有限个 例1 求下列幂级数的收敛区间: 解 该级数收敛 该级数发散 发散 收敛 故收敛区间为(0,1]. 如缺项， 则 必不存在， 但幂级数并不是没有收敛半径，此时不能 套用定理，可考虑直接用比值法或根值法求收敛半径 注： 三、收敛幂级数及其和函数的性质 1.代数运算性质: (1) 加减法 (其中 (2) 乘法 (其中 (3) 除法 (相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多) 2.和函数的分析运算性质: (收敛半径不变) (收敛半径不变) 两边积分得 解 例3 求和函数 解 收敛域为 记 则 并求 的和 故 故 常用已知和函数的幂级数 由于幂级数在收敛域内确定了一个和函数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末该函数的导数、积分等问题就迎刃而解。 第五节 泰勒级数与函数展开 成幂级数 证明 一、泰勒级数 逐项求导任意次,得 泰勒系数 泰勒系数是唯一的, 问题 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定. 定义 在x=0点任意可导, 证明 必要性 充分性 证明 二、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: 例1 解 由于M的任意性, 即得 高等数学（工科类） 第一节 常数项级数的概念与性质 第八章 无穷级数 第二节 正项级数及审敛法 第三节 任意项级数及审敛法 第四节 函数项级数与幂级数 第五节 泰勒级数与函数展开 成幂级数 问题的提出 1. 计算圆的面积 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 第一节 常数项级数的概念与性质 一、常数项级数的概念 1. 级数的定义: 一般项 (常数项)无穷级数 级数的部分和 部分和数列 2. 级数的收敛与发散: 余项 无穷级数收敛性举例：Koch雪花. 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”． 观察雪花分形过程 第一次分叉： 依次类推 第 次分叉： 周长为 面积为 于是有 雪花的面积存在极限（收敛）． 结论：雪花的周长是无界的，而面积有界． 解 收敛 发散 发散 发散 综上 解 二、级数的基本性质 结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 证明 类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性. 证明 注意 收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛. 收敛 发散 事实上，对级数 任意加括号 若记 则加括号后级数成为 记 的部分和为 的部分和记为 则 由数列和子数列的关系知 存在， 必定存在 存在 未必存在 1.定义: 这种级数称为正项级数.这种级数非常重要，以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题都可归结为正项级数的收敛性问题 2.正项级数收敛的充要条件: 部分和数列 为单调增加数列. 定理 第二节 正项级数及审敛法 一、正项级数的定义 定理1比较审敛法 二、比较审敛法 解 由图可知 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数. 比较审敛法是一基本方法，虽然有用，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法 证明 三、比值审敛法 比值审敛法的优点: 不必找参考级数.直接从级数本身的构成——即通项来判定其敛散性 两点注意: 解 比值审敛法失效, 改用比较审敛法 一、交错级数 正、负项相间的级数称为交错级数. 第三节 任意项级数及审敛法 解 原级数收敛. 二、绝对收敛与条件收敛 定义1: 正项和