单元刚度矩阵建立.docVIP

7.3 单元刚度矩阵的建立 从前面介绍可以看出，有限元法的核心是建立单元刚度矩阵，有了单元刚度矩阵，加以适当组合，可以得到平衡方程组，这以后剩下的就是一些代数运算了. 我们首先介绍虚位移原理及其在单元分析中的应用.在各种能量原理中，虚位移原理应用最为方便，因而得到广泛应用. 7.3.1 虚位移原理 所谓虚位移可以是任何无限小的位移，它在结构内部必须是连续的，在结构的边界上必须满足运动学边界条件，例如对于悬臂梁来说，在固定端处，虚位移及其斜率必须等于零. 图7-25 今考虑如图7-25所示的物体，它受到外力等的作用.记，在这些外力作用下，物体的应力为  现假设物体发生了虚位移，在外力作用处与各个外力相应方向的虚位移为记，由虚位移所产生的虚应变为 在产生虚位移时，外力已作用于物体，而且在虚位移过程中，外力保持不变，因此，外力在虚位移上所做的虚功是 在物体的单位体积内，应力在虚应变上的虚应变能是 整个物体的虚应变能是 虚位移原理表明，如果在虚位移发生之前，物体处于平衡状态，那末在虚位移发生时，外力所做虚功等于物体的虚应变能，即 7.3.2 单元位移 在图7-26中表示了求解平面应力的三角形单元，求解空间应力的四面体单元.用表示结点的位移，例如，对于平面应力问题 对于空间应力问题 其中分别是结点沿方向的位移分量.用表示单元全部结点位移所构成的向量： 单元内任一点的位移可表示如下： 式中等为形函数，具有如下特性： 在结点： （单位阵） 在其他结点： （矩阵） 为坐标的函数，其具体形式将在以后各章中给出. 图7-26 7.3.3 单元应变与应力 当单元内任一点的位移已知时，通过适当的微分运算可求出单元内任一点的应变，一般可表示如下： 例如对于平面应力问题 根据广义胡克定理，单元应力可表达示如下： 其中[D]为弹性矩阵，将应变表达式代入上式得 式中是应力矩阵. 7.3.4 结点力与单元刚度矩阵 为了能用结构力学方法求解连续介质的应力，以作用于单元结点上的等效集中力代替分布于单元边界上的应力，并称为结点力。用表示点的结点力.结点力的个数和方向必须与结点位移保持一致，对于平面应力问题 对于空间应力问题 其中分别是沿方向作用于点的结点力.用表示单元全部结点力所组成的向量  今用虚功原理推导结点力的表达式。假设在单元中发出了虚位移，相应的结点虚位移为，则有 单元内发生的虚应变为 结点力所做的虚功等于每个结点力分量与相应的结点位移分量的乘积之和： 用矩阵表示，即为 在整个单元内，应力在虚应变上的虚应变能是 把代入上式，得到 根据虚功原理故 上式对于任何虚位移都必须成立.由于虚位移可以是任意的，所以矩阵也是任意的.上式两边与它相乘的矩阵应当相等，于是得到 将应力表达式代入得 令 于是 上式建立了结点力与结点位移之间的关系.矩阵称为单元刚度矩阵，它的元素表示当该单元发生一定的结点位移时，所对应的结点力.单元刚度矩阵决定于该单元的形状、大小、方向和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平移而改变. 7.3.5 结点载荷 为了能用结构力学方法求解连续介质的应力，所有分布载荷都必须代换以等效的结点载荷.今用表示结点的等效结点载荷.例如，对于平面应力问题 对于空间应力问题 其中分别是沿方向作用于点的集中载荷. 用表示单元全部结点载荷所组成的向量 下面用虚位移原理推导各种结点载荷算式. 1．分布体积力 设单位体积内承受的体积力为 当单元中发生虚位移时，体积力所做的功为 这应当等于等效结点载荷所做的功，即 由上式可得体积力的等效结点载荷如下： 上式右边的重积分应当在单元的整个体积内进行. 2．分布面力 设单元是靠近边界的单元，在其边界S上作用着分布的面力 单元发生虚位移时，面力所做的功为 它必须等于等效结点荷载所做的功，由此得到 上式右边的面积分是在分布荷载所作用的表面S上进行的. 上述各公式在本书以后各章经常要用到，在实际工作中也是常用的，为便于查阅，汇总如下： ????? （3-2） ? ??????? （3-3） ? ? ? ? ?? ? （3-4） ? ? ?? （3-5） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? （3-6） ? ? ? ? ?? （3-7） ???? ? ??? ? ????? （3-8）