二讲二次函数在导数中应用.docVIP

第二讲 二次函数在导数中的应用 1．(2011·辽宁)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是______． 解析　函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln 2)上递增在(ln 2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞2ln 2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点只需a≤2ln 2－2即可．已知函数f(x)＝mx2＋ln x－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为______．解析　f′(x)＝mx＋－2≥0对一切x0恒成立， m≥－()2＋，令g(x)＝－()2＋，则当＝1时， 函数g(x)取得最大值1，故m≥1. 2．函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”) 解析　由函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，可得a的取值范围为a1，∴g(x)＝＝x＋－2a，则g′(x)＝1－.易知在x∈(1，＋∞)上g′(x)0，所以g(x)为增函数． ．若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________． 解析　f′(x)＝3ax2＋(x0)，若函数存在垂直于y轴的切线，即3ax2＋＝0有解，a＝－， ∵x0，∴－0，∴a0. ．函数f(x)＝2mcos2＋1的导函数的最大值等于1，则实数m的值为________． 解析　显然m≠0，所以f(x)＝2mcos2＋1＝m(2cos2－1)＋m＋1＝mcos x＋m＋1， 因此f′(x)＝－msin x，其最大值为1，故有m＝±1.一、求参数范围 例1　设函数f(x)＝ln x－px＋1. (1)求函数f(x)的极值点； (2)当p0时，若对任意的x0，恒有f(x)≤0，求p的取值范围． 解　(1)∵f(x)＝ln x－px＋1，∴f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－p＝， 当p≤0时，f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)上无极值点； 当p0时，令f′(x)＝0，∴x＝∈(0，＋∞)，f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表： x (0，) (，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 极大值 单调递减 从上表可以看出，当p0时，f(x)有唯一的极大值点x＝. (2)当p0时，f(x)在x＝处取得极大值f()＝ln，此极大值也是最大值．要使f(x)≤0恒成立，只需f()＝ln≤0，∴p≥1，∴p的取值范围是[1，＋∞)． 变式训练1　(2010·全国)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2. (1)若a＝，求f(x)的单调区间； (2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围． 解　(1)a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2， f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)． 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0；当x∈(－1,0)时，f′(x)0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0. 故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减． 二、利用导数证明不等式 例2　(2010·安徽)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当aln 2－1且x0时，exx2－2ax＋1. (1)解　由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R. 令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 极小值 单调递增 故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)． 三、利用导数研究函数单调性 例　已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln x)，a0，讨论f(x)的单调性． 解　(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1＋－＝. 设g(x)＝x2－ax＋2， 二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8. ①当Δ0即0a2时，对一切x0都有f′(x)0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数． ②当Δ＝0即a＝2时，仅对x＝时，有f′(x)＝0，对其余的x0都有f′(x)0. 此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数． ③当Δ0即a2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝，0x1x2. x (0，x