《概率论与数理统计》第 6 章 参数估计.pptVIP

;;;;矩估计法的基本思想就是用样本的k阶原点矩 去估计总体X的k阶原点矩E(Xk)，或者用样本的k阶中心矩 去估计总体X的k阶中心矩E(X-E(Xk))k，并由此得到未知参数的估计量.;下面给出求矩估计的步骤. 设总体X的分布函数为F(x；θ1，θ2，…，θm)，θ1，θ2，…，θm是m个待估计的未知参数. (1)求总体的m阶矩. 设αk=E(Xk)存在，对任意k(k=1,2,…,m)，有 αk=E(Xk)=αk(θ1，θ2，…，θm) (2)用样本矩作为总体矩的估计，即令 这便得到含m个参数 的m个方程组 (3)求解上述m元方程组，可得 以 作为参数θk的估计量，并称为未知参数θk的矩估计量，这种求估计量的方法 称为矩估计法.;【例1】设总体X～B(l，p)，且已知(X1，X2，…，Xn)为来自总体X的样本，试求参数p的矩估计量.;【例2】设总体X的概率密度为 其中θ＞-1为未知参数，X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个样本容量为n的简单随机样本，试求θ的矩估计量.;6.1.2极大似然估计法 一般地，设x1，x2，…，xn为来自总体F(x，θ)的样本观察值，如果当未知参数θ取 时，(x1,x2,…,xn)被取到的概率最大，则称 为θ的极大似然估计量，也称最大似然估计量.;其求法如下： (1)求似然函数L(x1,x2,…,xn,θ) 若总体为离散型分布.其分布律为 P(X=xi)=p(xi,θ)，i=1,2,… 其中θ为未知参数，对给定的样本观察值(x1,x2,…,xn)，令 L(x1,x2,…，xn,θ)= p(xi,θ) (6-1) 若总体为连续型分布，其概率密度函数为f(x,θ)，其中θ为未知参数.对给定的样本观察值(x1，x2，…，xn)，令 (6-2) 由(6-1)式及(6-2)式看出，似然函数L(x1，x2，…，xn，θ)反映了样本观察值被取到的概率.;(2)求L(x1,x2,…,xn，θ)的最大值点 若似然函数L是θ的可微函数，则最大值点θ必满足似然方程 (6-3) 从中解得θ，经过检验即可得到L的最大值点 ， 就是θ的极大似然估计. 由于L为乘积函数，而L与lnL在同一处取得最大值.所以由下面对数似然方程 (6-4) ??解 比由方程(6-3)要方便得多. 方程(6-3)、(6-4)视参数的个数进行求导或对各参数求偏导.;【例6】设总体X～N(μ,σ2)，求参数μ，σ2的最大似然估计量.;似然方程为 解似然方程得 所求的最大似然估计量为;;【例1】证明对任何总体，样本均值 为总体均值E(X)的无偏估计量.;【例2】证明样本方差Sn2不是总体方差D(X)=σ2的无偏估计，但为σ2的渐近无偏估计.;6.2.2估计量的有效性 定义6.3设 和 都是总体未知参数θ的无偏估计量，若对任意的θ，恒有 (6-7) 则称 为比 有效的估计量.如果在θ的所有无偏估计量中, 的方差最小，则称 为θ的一致有效方差无偏估计.;设 分布的均值都是θ，若 有效，那么 的分布形状较尖，而 的分布形状较为平坦(见图6-1)，也就是说 在θ附近取值的概率比 来得大.这就是有效性的直观含义.;【例3】设总体X的均值为μ，方差为σ2，且σ2不为零.X1,X2,X3是总体X的样本. 记 试问总体均值μ的两个估计量 哪个有效？;【解】因为 故 都是总体均值μ的无偏估计量.又因为 故 所以 有效.;6.2.3估计量的一致性 定义6.4设 (X1,X2,…,Xn)是未知参数θ的估计量，如果当n→∞时， 依概率收敛于θ，即对任意ε＞0，