高中新课程数学(苏教)二轮复习精选个必考问题《必考问题数学思想在解题中应用(二)》(含解析).docVIP

必考问题18　数学思想在解题中的应用(二) 【真题体验】 1．(2012·南通期末调研)已知函数f(x)＝3sin，如果存在实数x1，x2，使得对任意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为________． 解析　由条件可得f(x1)＝f(x)min＝－3，f(x2)＝f(x)max＝3，所以|x1－x2|的最小值等于个周期，而周期T＝＝4π，故|x1－x2|min＝T＝2π. 答案　2π2．(2012·苏锡常镇四市调研)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为实数，a≠0)的图象过点C(t,2)，且与x轴交于A，B两点，若ACBC，则a的值为________．解析　因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为实数，a≠0)的图象过点C(t,2)，所以at2＋bt＋c＝2，设A(x1,0)，B(x2,0)，则由韦达定理可得x1＋x2＝－，x1x2＝，且ACBC可以转化为kAC·kBC＝·＝－1，变形得(t－x1)(t－x2)＝－4，即为＋t＋t2＝－4at2＋bt＋c＝－4a＝2a＝－. 答案　－3．(2012·启东中学模拟)若关于x的不等式x2＋2x＋a＋2＞0的解集为R，则实数a的取值范围是________．解析　利用二次函数图象可以将问题转化为Δ＝4－4(a＋2)＜0，解得a＞－1. 答案　(－1，＋∞)4．(2012·江苏卷改编)解关于x的不等式：loga＞1. 解　解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式．而对数函数的单调性因底数a的取值不同而不同，故需对a进行分类讨论． 若a＞1，则原不等式等价于1－＞a＜x＜0， 若0＜a＜1，则原不等式等价于1＜x＜； 综上所述，当a＞1时，原不等式的解集为； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为.【高考定位】 高考对本内容的考查主要有： 1．分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要 帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置． 2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程．化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．所以转化与化归是高考必考思想方法． 试题类型基本是解答题，经常与函数与导数、不等式、数列等构成综合题，难度以中高档题居多． 【应对策略】 掌握当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略． 熟悉数学中的常见转化，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现． 必备知识 1．分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定．但可以在解题时不断地总结经验．如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或者较为隐蔽的“个别”情况未必成立．这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论．常见的“个别”情形略举以下几例： (1)“方程ax2＋bx＋c＝0有实数解”转化为“Δ＝b2－4ac≥0”时忽略了个别情形：当a＝0时，方程有解不能转化为Δ≥0； (2)等比数列{a1qn－1}的前n项和公式Sn＝中有个别情形：q＝1时，公式不再成立，而是Sn＝na1； (3)设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但有个别情形：当直线与x轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑； (4)若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为＋＝1，但有个别情形：a＝0时，再不能如此设，应另行考虑． 2．化归与转化应遵循的基本原则： (1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于运用熟知的知识、经验来解决问题；(2)简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；(3)和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；(5)正难则反原则：当问题正面解决遇到困