应用概率统计 第五章.pptVIP

解 设报童卖掉报纸的份数为X ，X~b(n,p) 报童沿街向行人兜售报纸，假设每位行人买报的概率为0.2，且他们是否买报是相互独立的。求报童向100位行人兜售之后，卖掉15－30份报纸的概率。 例5.6 有100台车床彼此独立地工作。每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80％，求下列事件的概率。1、任一时刻有70－86台车床工作。2、任一时刻有80台以上车床工作。 解 设任一时刻工作的车床台数为X ， X~b(n,p)。 例5.7 China University of Mining and Technology 概率论及数理统计 China University of Mining and Technology 第五章 大数定律和中心极限定理 大数定律 中心极限定理 第一节 大数定律 大数定律的客观背景 大量抛掷硬币 正面出现频率 字母使用频率 生产过程中的 废品率 …… 大量随机试验中 或 成立， 则称此式为切比雪夫不等式。 设随机变量X 的数学期望E(X)=μ和方差D(X)=σ 2存在，则对任意ε0，不等式 命题5.1 （切比雪夫Chebyshev不等式） 一、大数定律 可见D(X) 越小，事件 的概率越接近1。 X 的值密集在其数学期望附近的概率越大。 一电网有1万盏路灯，晚上每盏灯开的概率为0.7。求同时开的灯数在6800至7200之间的概率至少为多少? 解 设X 为同时开的灯数。X~b(104，0.7) 由二项分布 用切比雪夫不等式 例5.1 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700， 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在 5200～9400 之间的概率。 解 设每毫升白细胞数为X，依题意，EX =7300， DX =7002。所求为 由切比雪夫不等式 即每毫升白细胞数在5200-9400之间的概率不小于8/9。 例5.2 则对任意的ε 0，有 定理5.2 （切比雪夫大数定律） 做前 n 个随机变量的算术平均 当n充分大时，算术平均值差不多不再是随机的了。这种稳定性的含义说明算术平均值是依概率收敛的意义下逼近某一常数。 证 由切比雪夫不等式 上式中令 得 二、依概率收敛定义及性质 定义5.3 性质5.4 定理5.2的另一种叙述形式： 问题 : 设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率， 是事件A发生的频率。事件发生的频率能否代替事件的概率，频率是否具有稳定性呢？ 定理5.5（伯努利大数定律） 设 nA 是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε 0 ，有 或 证明 注：伯努利大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小。 证毕 或 下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在。 设随机变量序列X1,X2, … 相互独立，服从同一分布，具有数学期E(Xi)=μ, i=1,2,…， 则对于任意正数ε ，有 定理5.6（辛钦大数定律） 辛钦 注：1. 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径。 2. 伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况。 3. 辛钦定理具有广泛的适用性。 要估计某地区的平均亩产量 ， 要收割某些有代表性块，例如n 块 地。计算其平均亩产量，则当n 较 大时，可用它作为整个地区平均亩 产量的一个估计。 在一个罐子中，装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码。 设 ，k=1,2, … 问对序列{Xk}能否应用大数定律？ 解: k=1,2, … E(Xk)=0.1, 即对任意的ε0, 诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律。 例5.3 第二节 中心极限定理 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和)影响所形成的。 例如：炮弹射击的 落点与目标的偏差， 就受着许多随机因 素（如瞄准，空气 阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的。每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的。那么弹着点服从怎样分布 ？ 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大。则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布。 自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见