二重积分的计算(续).pptVIP

例3. 求球体 被圆柱面 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设 由对称性可知 计算二重积分 其中D 为圆周 所围成的闭区域. 提示: 利用极坐标 原式 例4. 例5. 计算 其中D 为由圆 所围成的 及直线 解： 平面闭区域. 例6、P137，9? 画出积分区域? 把积分表示为极坐标形式的二次积分? 其中积分区域D是? (3) {(x? y)| a2?x2?y2?b2}? 其中0?a?b? 解: 积分区域D如图? 因为D?{(?? ?)|0???2?? a???b}? 所以 (4) {(x? y)| 0?y?1?x? 0?x?1}? 解：积分区域D如图? 因为 所以 10? 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分? (2) 解: 积分区域D如图所示? 并且 所以 (2) （3） 解：积分区域D如图所示? 并且 所以 11? 把下列积分化为极坐标形式? 并计算积分值? ? 解 积分区域D如图所示? 因为 所以 解：积分区域D如图所示? 因为 原积分 (2) (4) 解：积分区域D如图所示? 因为 所以 ? 二、利用极坐标计算二重积分 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 ? =常数, 即 划分区域D . 内容小结 则 若积分区域为 计算步骤及注意事项 ? 画出积分域 ? 选择坐标系 ? 确定积分序 ? 写出积分限 ? 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) 充分利用对称性 应用换元公式 作 业 P138：11(1)(3); 12(2)(3); 15；16. 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第十章 基本思想: 二重积分 两次定积分 若D为 X - 型区域 则 若D为Y - 型区域 则 一、利用直角坐标计算二重积分 P136, 1. 画出积分区域? 并计算下列二重积分? 其中D是由条抛物线 所围成的闭区域. (8) (9) (10) 考虑典型小闭区域 ——曲边四边形区域 二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的变量从直角坐标到极坐标的变换公式 计算方法——化为二次积分 适用范围 二重积分化为累次积分几种常见的情形 二重积分化为二次积分几种常见的情形 二重积分化为二次积分几种常见的情形 平面区域D 的面积： 思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 答: 问 ? 的变化范围是什么? (1) (2) 例1. 解 例2. 计算 其中 解: 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算. 注: 利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 事实上, ① 故①式成立 . 又 目录 上页 下页 返回 结束