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第3章 一元函数积分学 原函数与不定积分的概念 第二类换元法 * 返回 * 返回 3.1 不定积分 3.2 定积分 3.4 定积分的应用 3.3 广义积分 3.1.1 原函数与不定积分的概念 3.1.2 基本积分公式3.1.3 不定积分的性质 3.1.4 换元积分法 1.第一类换元法 2.第二类换元法 3.1.5 分部积分法 3.1.6 有理函数不定积分(自学) 3.1 不定积分 3.1.7 积分表的使用(自学) 定义3-1 定义3-2 结 论 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 性质3 性质4 性质1 性质2 基本积分公式 ? 是常数); 使用基本积分表和运算性质求积分的方法称为直接积分法。 注意： 使用此公式的关键在于将 定理3-2 凑微分 第一换元法(凑微分法) 解 例1 求 例2 求 解 例3 解 说明 当被积函数是三角函数偶次幂时，降幂。 当被积函数是三角函数奇次幂时，凑微分. 例4 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，用奇次项去凑微分，放在微分号后面. 例5 求 解 利用三角学中的积化和差公式，得 例6 求 解（一） 解（二） 解（三） # 第一类换元法是通过变量替换 将积分 下面介绍的第二类换元法是通过变量替换 将积分 第二类积分换元法 根式代换 例1 求 解 考虑到被积函数中的根号是困难所在，故 令 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 例2 求 解 令 当被积函数含有两种或两种以上的根式 例3 求下列不定积分 解： 令 则 令 则 解： 令 则 解： 例4 求 根式代换并没有消去根号. 为消去根号可考虑利用三角函数关系式来换元. 例4 求 解 三角代换 例5 求 解 令 例6 求 解 令 注: 三角代换的目的是化掉根式. 倒数代换 # 考虑积分: 解决思路: 利用两个函数乘积的求导法则. 3.1.5 分部积分法 分部积分公式 对此不等式两边求不定积分 即 注1 使用分部积分法，u (x), v (x)的选取要使得 比 容易计算 注2 被积函数 f (x)可分解为某函数u (x)与v (x) 的导函数的乘积,即 例1 求积分 解 令 如果令 显然， 选择不当，积分更难进行. 一般地，若被积函数是幂函数和正(余)弦函数的乘积, 就考虑设幂函数为u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数) 例2 求积分 解 若被积函数是幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为u , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数) * * * *