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数学综合训练(三) 1．已知定点，N是圆上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是 （ B ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 2．已知函数，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 x15 。 3．对于连续函数在闭区间上的最大值称为在闭区间上的“绝对差”，记为，则 = 4．对有10个元素的总体{1,2,3，…，10}进行抽样，先将总体分成两个子总体A＝{1,2,3,4}和B＝{5,6,7,8,9,10}，再从A和B中分别随机抽取2个元素和3个元素组成样本，用Pij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则P15＝　　　　，所有Pij（1≤ij≤10）的和等于　　　　． 的最大值为 2 6．设函数。（1）求函数单调区间； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）对任意n的个正整数 （1）求证：（2）求证： 6．（I） 当时，，在上是增函数 当时，令得 若则，从而在区间上是增函数 若则，从而在区间上是减函数 综上可知：当时，在区间上是增函数。当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数 （II）由（I）可知：当时，不恒成立 又当时，在点处取最大值， 且 令得 故若对恒成立，则的取值范围是 （III）证明：（1）由（II）知：当时恒有成立 即 （2）由（1）知：； ；……； 把以上个式子相乘得 ,故 7．已知数列{an}满足． （1）若方程的解称为函数的不动点，求的不动点的值；（2）若，，求数列{n}的通项． （3）当时，求证： 7．解：（1）由方程得， 解得． （2） 两式相除得即 由可以得到，则 又得， ，（）。 （3）当时， 当时， == 8.已知实数上的增函数，设函数（1）求a的值并写出的表达式； （2）求证：当； （3）设是否存在相等的两项？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由。 8. 9．：上一点作曲线的切线交轴于点，又过作 轴的垂线交曲线于点，然后再过作曲线的切线交轴于点 ，又过作轴的垂线交曲线于点，，以此类推，过点的切线 与轴相交于点，再过点作轴的垂线交曲线于点（N）．、及数列的通项公式； (2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为，求的表达式； (3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为，求证：N. (1) 解: 由，设直线的斜率为，则. ∴直线的方程为.令，得， ∴， ∴.∴. ∴直线的方程为.令，得. 一般地，直线的方程为， 由于点在直线上，∴. ∴数列是首项为，公差为的等差数列.∴. （2）解： . （3）证明：. ∴，. 要证明，只要证明，即只要证明 证法1：（数学归纳法）时，显然成立； 假设时，成立， 则当时，， 而. ∴.∴. 这说明，时，不等式也成立. 由①②知不等式对一切N都成立. 证法2: . ∴不等式对一切N都成立. 证法3:令,则, 当时, , ∴函数在上单调递增.∴当时, . ∵N,∴, 即. ∴.∴不等式对一切N都成立. 10．与椭圆有公共焦点，且以抛物线的准线为双曲线的一条准线．动直线过的右焦点且与双曲线的右支交于两点（1）的方程； （2）绕点怎样转动，在双曲线上是否总存在定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． ．解：，则由题意有： ∴，， 故的方程为（2）为 当直线l的斜率存在时，设直线方程，， 将方程与双曲线方程联立消去得：， ∴ 解得 假设双曲线上存在定点，使恒成立，设为 则： ∵，∴， 故得：对任意的恒成立， ∴，解得∴当为时，，知点使得也成立． 又因为点是双曲线的左顶点， 所以双曲线上存在定点，使恒成立． 解法二（略解）：当直线l的斜率不存在时，由，，，且点在双曲线上可求得， 当直线l的斜率存在时，将，，代入，经计算发现对任意的恒成立，从而恒有成立． 因而双曲线上存在定点，使恒成立． 11.定义 （1）令函数的图象为曲线c1，曲线c1与y轴交于点A（0，m），过坐标原点O作曲线c1的切线，切点为B（n，t）（n＞0）设曲线c1 在点A、B之间的曲线段与OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值； （2）当 解：（1） 故A（0，9） ，过O作C1的切线，切点为， 解得B（3，6） （2）令 令 单调递