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第3 章 最优滤波器 本章讨论从统计意义上的最优滤波问题或波形的最优线性估计问题。首先讨论对于平稳 随机信号的维纳（Wiener ）滤波器的设计，紧接着讨论一种特殊的维纳滤波器：最优一步线 性预测，通过前向线性预测和后向线性预测的对称关系，导出了求解 Yule-Walker 方程的快 速递推算法，并由此导出格型滤波器结构。紧接着讨论了在有限数据集条件下的最小二乘滤 波器(LS)，这是一种易于实现的有效滤波器并具有统计上的最优性。 3.1 维纳滤波 维纳滤波器是从统计意义上的最优滤波, 或者等价地说是波形的最优线性估计，它要求 输入信号是宽平稳随机信号。本章针对离散信号情况，详细讨论 FIR 结构和 IIR 结构的维纳 滤波器，在附录中给出了连续信号维纳滤波器的概要介绍。   由信号当前值及它的各阶位移 x (n k) k  ，估计一个期望信号d (n) ，输入信号x (n) 是宽平稳的，x (n) 和d (n) 是联合宽平稳的, 要求这个估计的均方误差最小，这就是维纳滤 波器，它实质上也是一个波形估计问题。为了方便，本章假设所涉及的信号都是 0 均值。 3.1.1 实际问题中的维纳滤波 初看起来，维纳滤波器有些抽象，用一个输入信号估计一个期望响应，期望响应是什么？ 通过如下几个来自于实际的应用实例，来理解维纳滤波器是对许多不同应用问题的抽象，从 而构成了最优滤波器的基础框架。 1. 通信的信道均衡器。 在通信系统中，为了在接收器端补偿信道传输引入的各种崎变，在对接收信号进行检测 之前，通过一个滤波器对信道失真进行校正，这个滤波器称为信道均衡器。为了说明均衡器 问题，这里只简单地讨论基带传输，忽略通信系统中的调制解调和各种编解码过程，设通信 系统的发射端发送序列s(n) ，通过信道传输，在接收端的滤波器输入端得到因信道不理想 而发生了失真的信号x (n) ，x (n) 可能包含了信道不理想产生的畸变和加性噪声，例如无线 通信系统中的多径效应和环境噪声。x (n) 作为维纳滤波器的输入信号，通过确定滤波器的 权系数，使得滤波器的输出s(n) 尽可能的逼近于一个期望信号d (n) ，这里d (n) 就是发送 序列 的延迟 s(n k) 。采用均方误差最小 准则设计滤波器系数，使估计误差 e(n) d (n) s (n) 的均方值最小。 s(n) x(n) d(n)=s(n) s(n) - + 信道 线性滤波器 e(n) 图3.1.1 信道均衡器的结构示意 81 2. 系统辨识 系统辨识的问题是：有一个系统是未知的或需要用一个 LTI 系统进行模型化，设计一个 线性滤波器尽可能精确地逼近这个待处理系统。维纳滤波器实现一个从统计意义上最优的对 未知系统的逼近。图 3.1.2 示出一个实现系统辨识的原理框图。使维纳滤波器和未知系统使 用同一个输入信号x (n) ，未知系统的输出作为维纳滤波器的期望相应d (n) ，设计滤波器系 数使得滤波器输出y (n) 与期望相应d (n) 之间的估计误差的均方值最小。 x(n) - y(n) 线性滤波器 +