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变式教学：一题多问、一题多解、一题多变教学模式 ——“利用导数研究函数单调性的解题课”教学设计 【课例解析】 1 教材的地位与作用 本节课是人教版《数学（选修2-2）》第一章 导数及其应用，§1.3.1函数的单调性与导数的第二课时解题课． 导数是微积分的核心内容之一，它有极其丰富的实际背景和广泛应用 ，导数更是研究函数性质的强有力的工具，在解决函数单调性、最大值和最小值等问题时，不但避开了初等函数变形的难点，证明的繁杂，而且使解法程序化，变“巧法”为“通法”，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性作用．在应用导数研究函数单调性教学的过程中，体会导数的思想及其内涵． 2 学情分析 在本节之前学生已经学习了导数的实际背景和基本概念．学生能理解导数的数学意义、物理意义及几何意义．掌握了常函数、幂函数、正余弦函数、指数函数、对数函数的导数．掌握了导数的运算法则．已经初步了解了导数与函数单调性的关系，并能利用导数解决简单的函数单调性问题．本节课此基础上进一步运用导数解决和函数单调性有关的问题，对大多数学生来说，有足够的能力掌握本节知识．学生已经初步具有对数学问题自主探究的意识和能力，当然也存在较大的个体差异．需要在教学过程中加以个别指导． 【方法阐释】 采用心智数学教育方式中变式教学模式进行教学：主要分“创设情景、引入新课，自主探究、成果展示，变式训练、巩固落实，归纳总结、提升拓展”四个教学环节． 对探究性问题，教师要启发引导学生按照“弄清题意—拟订计划—执行计划—反思回顾”四个解题环节独立完成． 指导学生通过小组交流、成果展示等形式检查自己的思维方式和对解题步骤格式．通过问题变式，使学生经历数学问题及解决方法的推广和运用．学生已经了解和掌握了导数与函数单调性的关系，并能利用导数的知识解决简单的函数单调性问题的方法，但是对含有参数的函数的单调性问题（确定单调区间问题或已知函数的单调性确定参数范围问题等），由于教材中没有涉及，因此是一个盲点，本节课教学设计旨在搭设台阶，降低坡度，通过对问题的不断变化，进行不断探索和比较，引导学生从基础入手，通过分析、对比辨析、归纳、推理、变式教学反例分析来探究解题方法，进行问题解决，使学生形成正确的解题方法，在学习中让学生学会探究、分析，并学会合作学习． 【目标定位】 1知识与技能目标 理解函数的单调性与其导数的关系，能利用求导的方法探求函数的单调性和单调区间． 2过程与方法目标 经历使用导数解决求函数单调区间和已知单调区间求参数范围问题的求解过程．通过分析、归纳、推理、对比辨析、变式教学来探究解题方法，并能通过各类问题的解法对比，感受和掌握导数在函数单调性问题解决过程中的应用． 3 情感、态度与价值观目标 感受导数为解决单调性问题提供的新思路、方法和途径，激发学生探究知识的兴趣和欲望． 2 教学的重点与难点 本节课的重点是理解函数单调性与其导数的关系，利用导数解决求函数单调区间和已知单调区间求参数范围问题．难点是解决含参数的函数单调性问题中参数范围的确定及分类讨论等数学思想方法的运用． 【课堂设计】 一、创设情景、引入新课 教师：我们已经学习了函数导数的计算方法和运算法则，并且知道利用导数可以求出函数的单调区间，请同学们自己动手以下探究性问题. 探究性问题：求下列函数的单调区间． 1．函数f(x)=x3-3x+1的单调递减区间． 2．函数f(x)=x2 ex的单调区间． 3．（05年北京）已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a，求f(x)的单调减区间. 二、自主探究、成果展示 学生独立解决后，小组内学生交流，相互纠正解题中出现的问题． 教师：利用导数求函数的单调区间有哪几个步骤？ 学生1：第一步，求函数导数；第二步，建立导函数不等式，使f(x)0的区间为原函数的增区间，使f(x)0的区间为函数的减区间；第三步，回答单调区间． 教师利用实物投影展示在巡视的过程中发现的格式步骤不全、格式步骤规范、格式步骤较多但混乱无序等学生解题过程，规范学生解题思维和书写格式． 教师：第3题中的参数a对函数的增减性会不会产生影响？为什么？ 学生2:对函数增减性不会产生影响．从函数图像变换看，常数项a的影响就是图像形状不改变，只进行上下平移；从函数的导函数看，参数a是常数，其导数为0.不会对其导函数产生任何影响． 我的思考：设计探究性问题，主要目的是使学生进一步熟练导数研究单调性的方法，规范解题格式步骤；其次，三个导函数题都与二次函数有关，且用到指数函数的性质，进一步强化二次不等式的解法和指数函数性质，让学生体会导数问题的综合性．再次，第3题中设置了参数a，在此不需单独讨论，但在老师的追问下，有些学生已经意识到有时要对a进行讨论，为下面针对参数的分类讨论埋下伏笔． 三、变式训练、巩固落实 适当