量子力学-王可嘉-第5讲 一维势场中能量本征态的一般性质.pptVIP

量子力学 光电子科学与工程学院 王可嘉 第五讲 一维势场中能量本征态的一般性质 有限深对称方势阱中的束缚态 第5讲目录 一、三论正交、归一、完备态 二、 一维势场中粒子能量本征态的一般性质 三、有限深对称方势阱中的束缚态 一、三论正交、归一、完备态（1） 一、三论正交、归一、完备态（2） 一、三论正交、归一、完备态（3） 一、三论正交、归一、完备态（4） 一、三论正交、归一、完备态（5） 一、三论正交、归一、完备态（6） 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(1) 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(2) 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(3) 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(4) 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(5) 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(6) 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(7) 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(8) 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(9) 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(10) 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(11) 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(12) 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(13) 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(14) 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(15) 三、有限深对称方势阱中的束缚态(1) 三、有限深对称方势阱中的束缚态(2) 三、有限深对称方势阱中的束缚态(3) 三、有限深对称方势阱中的束缚态(4) * * 态叠加原理：任意量子态可按任意一组正交、归一、完备态矢量来分解，即： 以一维无限深方势阱中粒子的波函数为例： 由 由傅里叶级数可知：在 内，任意奇函数可展开为： 完备 数学上： 为完备性。 物理上： 是无限深方势阱中的波函数，为态叠加原理的体现。 由能量本征方程确定，构成了体系的基矢量。 如何确定 ？ 证明：由 其中： 处于谐振子势中的粒子，由能量本征方程确定的分立波函数： 构成一组正交、归一、完备的基矢。这是由 的正交、归一性得到的。 可以证明： 具有完备性，即可将任意函数用 展开： 即： 根据态叠加原理： 就是粒子在谐振势 下的态。 结论：由能量本征方程解出的 ，通常被称为态矢量，也称基矢，它们是正交、归一、完备的。无论在无限深方势阱还是谐振子中，粒子的量子态 都可以用这一组正交、归一、完备的基矢展开： 其中展开系数： 粒子处于某一态矢 的概率为： 同时要注意：也是粒子具有态矢 对应的能量 的概率。 1、定态： 薛定谔方程： 若 不显含 ，则有 若已知 时体系处于某一个能量本征态 ，则在 后，体系状态为 通常称这样的态为定态。由定态描述的粒子状态，测量其能量时，得到确定值 。 2、简并： 如果系统的能级是分立的，即 ，若对同一个能级，有两个及其以上的本征函数与其对应，则称这个能级是简并的。 例一、一维无限深方势阱中粒子的能量本征值和本征态为： 一个能量本征值 对应一个本征态 ：非简并 例二、一维谐振子的能量本征值和本征态为： 一个能量本征值 对应一个本征态 ：非简并 3、宇称：函数在空间反演下表现出的特性。 定义空间反演算符 ： 若： 则称 具有确定的 偶宇称 奇宇称 例： 偶宇称 奇宇称 注意：一般的函数没有确定的宇称！ 4、定态薛定谔方程 设质量为 的粒子沿 轴运动，势能为 一般情况下： 若 ，则 时，粒子处于定态 ： 则有： 粒子波函数所满足的方程为： 称其为定态薛定谔方程，也就是能量本征方程。 七个定理： 定理1：设 是能量本征方程的一个解，其对应的能量本征值为 ， 则 也是