函数的奇偶性与周期性(作业).docVIP

限时作业6　函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1.f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+2)=f(x),当x∈(0,1)时,f(x)=2x-2,则f(lo6)的值等于(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.- B.- C. D.- 2.(2011湖北武汉模拟)函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x0时,f(x)=-x+1,则当x0时,f(x)的表达式为(　　). A.-x+1 B.-x-1 C.x+1 D.x-1 3.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)f(a),则实数a的取值范围是(　　). A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 4.定义两种运算:a⊕b=log2(a2-b2),a?b=,则函数f(x)=为(　　). A.奇函数 B.偶函数 C.奇函数且为偶函数 D.非奇且非偶函数 5.(2011福建福州质检)已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(2 009)+f(-2 010)的值为(　　). A.-2 B.-1 C.1 D.2 6.函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则(　　). A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数 二、填空题 7.定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x∈R,都有f(x+8)=f(x)+f(4),且x∈[0,4]时,f(x)=4-x,则f(2 011)的值为　　　　　.? 8.定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则不等式f(x)-1的解集是　　　　　.? 9.定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,下面关于f(x)的判断: ①f(x)是周期函数; ②f(x)的图象关于直线x=2对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上是减函数; ⑤f(4)=f(0). 其中判断正确的序号是　　　　　.? 三、解答题 10.(2012湖北省黄冈市高三九月联考)已知函数y=f(x)=(a,b,c∈R,a0,b0)是奇函数,当x0时,f(x)有最小值2,其中b∈N,且f(1). (1)试求函数f(x)的解析式; (2)问函数f(x)的图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由. 11.(2012湖北省黄冈市高三九月联考)定义在R上的增函数y=f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),则 (1)求f(0)的值; (2)证明:f(x)为奇函数; (3)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围. 12.已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x).若f(x)为奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)=x,求使f(x)=-在[0,2 009]上的所有x的个数. ## 参考答案 一、选择题 1.C　2.B　3.C　4.A　5.C　 6.D　解析:由y=f(x+1)为奇函数知f(x+1)=-f(-x+1),① y=f(x-1)为奇函数知 f(x-1)=-f(-x-1),② 由①得f(-x)=-f(2+x); 由②得f(-x)=-f(x-2), ∴f(2+x)=f(x-2), 即f(x+4)=f(x). ∴函数y=f(x)是以4为周期的函数. ∴由②知,f(x-1+4)=-f(-x-1+4). ∴f(x+3)=-f(-x+3), ∴函数f(x+3)是奇函数. 二、填空题 7.1　8.　 9.①②⑤　解析:f(x+1)=-f(x)?f(x+2)=f(x), 故f(x)是周期函数. 又f(x)=f(-x), 所以f(x+2)=f(-x),故f(x)关于直线x=1对称. 同理,f(x+4)=f(x)=f(-x), ∴f(x)关于直线x=2对称. 由此可得①②⑤正确. 三、解答题 10.解:(1)∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x), 即=-?bx+c=bx-c. ∴c=0,∵a0,b0,x0, ∴f(x)==x+≥2, 当且仅当x=时等号成立,于是2=2, ∴a=b2. 由f(1),得,即, ∴2b2-5b+20,解得b2. 又b∈N,∴b=1,∴a=1, ∴f(x)=x+. (2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上,并且关于(1,0)的对称点(2-x0,-y0)也在y=f(x)图象上, 则 消去y0,得-2x0-1=0,x0=1±. ∴y=f(x)图象上存在两点(1+,2),(1-,-