2016高考数学教师二轮讲义七 立体几何和向量练习 理(含解析).docVIP

数学热点七 立体几何与向量（理科） 【考点精要】 考点一. 空间几何体的结构特征、三视图和直观图. 主要考查棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的三视图和直观图. 注意用斜二测画法平行于y轴的线段变为原来的一半. 考点二.求棱锥、棱台中的高、斜高. 注意运用直截面，将高与斜高放在图形中组成相应的三角形. 在正棱锥、棱台中利用几个直角三角形（高、斜高以及底面边心距组成的直角三角形，高、侧棱与底面外接圆半径组成一个直角三角形等）进行相关的计算. 考点三. 斜二测画法的相关计算. 斜二测画法的相关计算，重点考查直观图的定点与其他关键点，计算时尽量把顶点或其他关键点放在轴上或与轴平行的直线上. 考点四.几何体中的直角三角形. 在正棱锥中要充分利用四个直角三角形，在在正棱台中要充分利用三个直角梯形，两个直角三角形. 考点五.球的有关运算. 通常先作出球的大圆，然后利用平面几何知识求解. 与球有关的组合体应选择最佳角度作出轴截面图形，进而将立体图形转化为平面图形. 考点六. 三视图及相关面积、体积的计算. 三视图及相关面积、体积的计算，注意掌握三视图之间的规律：正俯长相同、正侧高平齐，俯侧宽相同. 考点七. 柱体、锥体、台体的侧面积、表面积、体积的运算. 注意运用割补法、等体积转化法求解相关体积. 考点八. 空间中点、线、面的位置关系以及直线、平面平行的判定与性质. 近几年来加强了线面之间的距离、异面直线间的夹角、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直、线线垂直、线面角的考查. 考点九. 运用坐标法求空间中两点之间的距离以及点关于平面对称点的坐标. 考点十.向量的有关概念及线性运算. 注意运算法则的应用. 若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算． (1)求两异面直线、的夹角，须求出它们的方向向量，的夹角，则(2)求直线与平面所成的角，可先求出平面的法向量与直线的方向向量的夹角．则. (3)求二面角的大小，可先求出两个平面的法向量，所成的角，则＝或． 考点十一. 向量共线. 两个向量共线的充要条件. 考点十二.平面向量的基本定理及坐标运算. 巧点妙拨 1．垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系： （1）平行转化：线线平行线面平行面面平行； （2）垂直转化：线线垂直线面垂直面面垂直； 每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的. 2．求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得. 3．向量在几何中的应用 （1）证明线段平行或者点的共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理. （2）证明垂直问题，常用向量的数量积的坐标运算. （3）求夹角问题，利用夹角公式. （4）求线段的长度，利用向量的模的运算公式. （5）直线的方向向量与法向量：直线的方程为，则它的一个方向向量为，一个法向量为. （6）利用向量法解决平面几何问题的“三部曲”：一是建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中设计到的几何元素，将平面问题转化为向量问题；二是通过向量的运算，研究几何元素之间的平行、垂直、距离、夹角的问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相应的物理现象. 【典题对应】 例1. (201· 山东理1）例. (2014· 山东理1I）求证：； （II）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值. 命题意图：本题主要考查线面平行，线面垂直、二面角的相关性质及应用. 考查学生建模思想的应用. 解析：（Ⅰ）连接 为四棱柱， 又为的中点， , , 为平行四边形 又 （Ⅱ）方法一： 作,连接 则即为所求二面角 在中， 在中，, 方法二：作于点 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系， 设平面的法向量为 显然平面的法向量为 显然二面角为锐角， 所以平面和平面所成角的余弦值为 名师坐堂：求解二面角的方法很多，如定义法、截面法、向量法、几何坐标法等，多数情况下要通过建立空间在直角坐标系，运用几何坐标法进行解决. 例. (2013· 山东理18）如图所示，在三棱锥中，，，分别是的中点，，与交于点，与交于点，连接. （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值. 命题意图：本题主要考查线与线，线与面以及面与面的关系， 线线垂直以及二面角的求解. 解析：（Ⅰ）证明：因为 分别是 的中点， 所以 ， 所以 ，又 ，所以 ，又，所以，又 ，所以. （Ⅱ）解法一：在中， ，所以 ，即， 因为，所以 ，又 ， 所以 . 由（Ⅰ）知，所以 ，又 ，所以 ， 同理可得 ，所以为二面角 的平面角. 设 ，连接