极坐标下的二重积分换元法.PDFVIP

极坐标下的二重积分 换元法 杨超 中山大学 /home/yangch8@/calculus 一、极坐标下的二重积分的计算 有的情况下，用极坐标来计算二重积分更方便些。 推导得二重积分的极坐标计算公式（换元）： f (x ,y )d f (r cos,r sin)r dr d D D 用微元法的观点： d rdrd 进一步化为累次积分： f (x ,y )d f (r cos,r sin)r dr d D D  r ( ) 2  dr ( ) f (r cos ,r sin )r dr 1 几类特殊的积分区域 (1)环形区域: (r,) 0   2, R  r  R  1 2 2 R2 f (x ,y )d 0 dR f (r cos,r sin)r dr 1 D (2)关于极点的星形区域（极点在区域内部）： r r() (0   2) 2 r ( ) f (x ,y )d 0 d0 f (r cos,r sin)r dr D (3)极点在区域边界上：  r ( ) f (x ,y )d  d0 f (r cos,r sin)r dr D 例7.将二重积分用极坐标化成累次积分。 f (x ,y )d D D (x , y ) x 2  y 2 ax (1)圆形区域：   (2) 由直线 y x , y 2x 和曲线 x 2  y 2 4x, x 2  y 2 8x 围成的区域； (3) 由直线 y 0, y x ,x 1 围成的区域。 例8. 计算 1  2 2 2 3/2 dxdy D (a  x  y ) 其中 D (x , y ) 0  x a ,0  y b  例9.求曲面 x 2  y 2 z 2