2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 - 高等数学.docVIP

输油管的布置某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。2. 设计院目前对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域）。图中各字母表示的距离（单位：分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。 若管线铺设费用均为每千米7.2万元。 管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示： 工程咨询公司 公司一 公司二 公司三 附加费用（万元/千米） 21 24 20 请为设计院给出管线布置方案。3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案。共用管线与非共用管线费用共用管线与非共用管线费用（万元）。并利用建立的规划模型②求得管道建设的最省费用为282.70万元。其中共用管线长度为1.85千米，炼油厂B在城区铺设的管道线对城郊分界线的射影为0.63千米。 最后，对问题三，由于炼油厂A和B的输油管线铺设费用不同，所以最短管道长度和未必能保证铺设总费用最省，因而我们又建立了规划模型③，通过LINGO软件求得管道建设的最省费用为251.97万元，三种管道的结合点O到炼油厂A与铁路垂线的距离为6.13千米，结合点O到铁路的距离为0.14千米，炼油厂B在城区铺设的管道线对城郊分界线的射影为0.72千米。 关键词：管线铺设 平面镜成像 光的反射 规划 问题重述 背景资料与条件 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。 设计院目前对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置附图管线铺设费用均为7.2万元。 管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，聘请三家工程咨询公司进行估算。 工程咨询公司 公司一公司二公司三 附加费用（万元/千米） 21 24 20 设计院管线布置方案。 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用分别A厂 5.6万元 B厂 6.0万元，共用管线费用为7.2万元千米，拆迁等附加费用同上。给出管线最佳布置方案。两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形有共用管线共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。管线铺设费用均为7.2万元千米：炼油厂A到铁路线的垂直距离； ：炼油厂B到铁路线的垂直距离； ：炼油厂A到城郊分界线垂直距离； ：两炼油厂间的距离； ：公用管道的长度； ：两炼油厂到城郊分界线垂直距离之和； ：城区铺设的管道线在两区分界线上的射影长度； ：两厂所用非公用管道价格相同时，非公用管道单位长度的造价； ：公用管道单位长度的造价； ：工程咨询公司对城区铺设管道时产生的单位长度管道附加费用的评估的期望值； ：A炼油厂铺设非公用管道时单位长度的造价； ：B炼油厂铺设非公用管道时单位长度的造价； ：管线建设总费用； 模型的建立与求解 问题一 在共用管道与非共用管道单位长度造价相同的情况下： 当两炼油厂的连线所在直线垂直于铁路线时，如图1所示（A，B上下位置可互换）： 明显的，从远油厂铺设非共用管道到近油厂，再从近油厂铺设共用管道到增建的车站，费用最少。 此时，总费用为 当两炼油厂的连线所在直线不垂直于铁路线时，建立模型①，如图2所示（其中a,b大小不确定）： 由于两种管道的单位造价相同，要使总铺设费用最小，则应使铺设距离最短，为求得最小距离，则必须确定两种管道的结合点O。 于是问题转化为在四边形ABCD内找一点O，使|AO|+|BO|+|OF|最小。据实际情况判断，O应界定在矩形ACDE内。 当时，，即； 当时，，即。 假设O点如图2中所示。现以AC所在直线为y轴，过O作于，以为原点，为x轴，建立如图所示直角坐标系。 对任一给定的OF长度值