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旋转体的侧面积 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 二、旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 x y o 解 直线 方程为 注1：在参数方程 下，旋转体的体积为 x y o 解 注2：在极坐标下， 所表示的区域绕极轴旋转一周所得的旋转体 的体积为 x y o 二、旋转曲面的面积 第八章：定积分 高州师范学院 8.5定积分的应用 通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？ 定积分的微元法 为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形 面积转化为定积分的计算过程。 step1. 分割：任意划分[a, b]为n个小区间 step2. 近似： step3. 求和： step4. 取极限： 分析： 在上述问题注意到: 所求量(即面积)A满足： 1。与区间[a, b]及[a, b]上连续函数f(x)有关; 2。对[a, b]具有可加性， 3。 实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第 二步，因此求解可简化如下： step1: 选取积分变量及积分 区间（如x属于[a, b]） step2: 取微区间[x, x+dx] 求出 step3: 这种方法称为定积分的微元法。 一、直角坐标系下的面积公式 x y o a b 解 两曲线的交点为 选 为积分变量， x y o 解 两曲线的交点 选 为积分变量, 二、参数函数的面积公式 如果曲边梯形的曲边为参数方程 则曲边梯形的面积 解 椭圆的参数方程 一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线（旋轮线）． 三、极坐标系下的面积公式 曲边扇形的面积 解 利用对称性知 平面曲线的弧长公式 一、参数函数的弧长公式 定理1 练习： 求旋轮线 一拱的弧长。 解 由公式得 二、直角坐标方程曲线弧长公式 则弧长为 解 所求弧长为 如果曲线弧为 三、极坐标方程曲线弧长公式 则弧长为 解 几何体的体积 　　一个立体，如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算. 则立体体积 A(x) 一、已知平行截面面积的几何体的体积 第八章：定积分 高州师范学院 8.5定积分的应用