5 第一类积分的应用.ppt

一` 第一型积分的几何应用 一`第一类 积分的几何应用 可测几何体的测度 二、质量、矩、重心和转动惯量 1 质量 三`引力 二` 质量、矩、重心和转动惯量 三` 引力 §5 第一型积分的应用 一条可求长曲线L的长度 一块平面 区域的面积 一个空间区域 Ω 的体积 一块空间曲面∑的面积 ⑵求球面x2+y2+z2=R2包含在柱面x2+y2=Rx 围成的包含原点的立积Ω的体积. 内部的部分 的面积. ⑶求柱面x2+y2=Rx包含在球面x2+y2+z2=R2 内部的部分∑2的面积. 例1 (1)求球面 与柱面 上侧边界为： 其下侧边界： 利用曲线积分求 的面积。 设有一个母线平行于oz轴的柱面 它的准线为L： 将曲面用过L平行于oz 轴的直线分割成若干 小片，取其一典型小片dS,设这小片在xoy平面的 它的面积dS= 因此，柱面 的面积可利用沿L的曲线积分表示 的长方形， 的弧微元为ds,高 设质量连续分布在可测几何体Ω上，其密度为 f(p),则分布在Ω上的质量 例2 设质量按线密度 分布在曲线： 上，求 分布在曲线 上的质量。 例3 设半径为R的球面 上各点的密度等于 该点到球的一定直径的距离的平方，求该球面 的质量。 G 2 矩`重心和转动惯量 处分布有质量 设在点 则得到一个质点系 这离散质点系关于yoz 平面，zox平面和 xoy平面的k阶矩分别为： 重心 的坐标为： 又设 到某一固定直线（轴）L的距离记为 则质点设 对轴L的转动 惯量为： 若质量连续分布在可测几何体Ω，用第一型 积分计算： 设质量在可测几何体Ω 上按密度 连续 分布Ω分割成小块 记 最大直径 任取 则当 充分小时分布 在 的质量 平面和xoy平面的k阶矩分别为： 把 的质量看作集中在 则质点系 关于yoz平面，zox 当 时分布在 的质量关于yoz平面， zox平面和xoy平面的K阶矩用第一型积分 依次表示： 当k=1时，为 的静矩 当k=2时，为关于yoz平面，zox平面和xoy 的零阶矩表示分布在 当k=0时， 的质量 平面的转动惯量 类似方法，分布在 质量的重心 的 坐标为： 关于轴L的转动惯量为： 特别地， 关于ox轴`oy轴和oz轴的转动惯量为： 如果 的密度均匀分布，设其密度为1，则把 重心 说成是 的形心，这时形心坐标 例4:求位于两圆 和 之间月牙形均匀薄片 D的形心。 例5 求半径为R，中心角为 的均匀物质圆弧 对于其对称轴的转动惯量。（设线密度为常数K） 建坐标使圆心在原点 对称轴为x轴，极角 为参数，圆弧L 的 方程为： 设 是可测几何体，其上质量按密度函数 连续分布； 是 外的一点，分布有 单位质量，对任一点 记： 现在讨论 对质点 的引力。 将 分割成 ，记 任取 当 充分小时， 上的质量： 把这部分质量看作集中在点 ，由万有引力 定律知，它对 的引力： 其中K是引力常数，于是 对质点 的引力