数列极限得描述性定义 对于数列.docxVIP

数列极限的描述性定义对于数列，如果当n无限增大时，无限接近于某一常数a，那么就称数列收敛于a,或称常数a为数列的极限，记作数列极限的分析定义对于数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数（无论多么小），总存在正整数N，使得当nN时，不等式都成立，那么就称数列注：①从几何意义上看，“当nN时，有”表示：所有下标大于N的项之外，至多只含有数列的有限项。 ②在数列极限的定义中，若满足条件的常数a确实不存在，则称数列不收敛，或称数列为发散数列，也称数列极限不存在。数列极限的唯一性若数列收敛，则其极限是唯一的。收敛数列的有界性若数列收敛，则数列是有界的。数列的有界性仅仅是数列收敛的必要条件，而非充分条件。收敛数列的保号性设，若a0(或a0),则存在正整数N，当nN时，都有0(或0).推论1 若，且数列从某一项起有（或），则a（或）.收敛数列与其子数列的关系数列收敛于a的充分条件是其任一子数列也收敛于a。数列极限的四则运算法则对于数列和，若，，,则数列{}，{}和（）都收敛，且有①②③特殊地，对于常数k，有设函数在[a,上有定义。如果存在常数A,对于任意给定的正数(无论多么小)，总存在正实数M（M），使得当xM时，有成立，则称常数A为函数当x趋于时的极限，记作即设函数在点的某个去心邻域内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数(无论多么小)，总存在正数，使得当时，有成立，则称常数A为函数当即x趋于时的极限，记作即时，有（只要求函数在的某一去心邻域内有定义，而一般不考虑它在点处是否有定义，或者取什么值）如果当x从左侧（右侧）趋于时，函数无限趋近于常数A，则称常数A为函数在时的左极限（右极限），记为()=A).即左极限和右极限统称为单侧极限。函数在时的极限存在的充要条件是其左右极限都存在而且相等，即函数极限的唯一性若极限，则该极限是唯一的。函数极限的局部有界性若，那么函数在局部范围内就是有界的，即存在常数M和，使得当时，有函数极限的局部保号性若=A，且A0（或A0）,那么就存在常数，使得当时，有f(x)0(或者f(x)0).推论如果的某一去心邻域内有=A,那么A(或A)。海涅定理设函数在点的某个去心邻域内有定义，则存在的充要条件是对任何含于上述的去心邻域内，且以为极限的数列,极限都存在且相等。函数极限的四则运算法则x趋于时的极限，记作即时，有（只要求函数在的某一去心邻域内有定义，而一般不考虑它在点处是否有定义，或者取什么值）如果当x从左侧（右侧）趋于时，函数无限趋近于常数A，则称常数A为函数在时的左极限（右极限），记为()=A).即左极限和右极限统称为单侧极限。函数在时的极限存在的充要条件是其左右极限都存在而且相等，即函数极限的唯一性若极限，则该极限是唯一的。函数极限的局部有界性若，那么函数在局部范围内就是有界的，即存在常数M和，使得当时，有函数极限的局部保号性若=A，且A0（或A0），那么就存在常数，使得当时，有f(x)0(或f(x)0)推论