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【例2-11】已知平面图形ABCDEFG的V面投影及直线AB与CD的水平投影。试完成其H面投影。 X O c a? b? a c? b d? d e? f? e f g? g 2.4.4 直线与平面、平面与平面的相对位置 2.4.4.1 平行问题 2.4.4.2 相交问题 2.4.4.3 垂直问题 2.4.4.1 平行问题 直线与平面平行 若平面外一直线平行于平面内任一直线，则该直线与平面互相平行。 P C D A B 【例2-12】已知△ABC与M点，作过M点的水平线MN//△ ABC。 n? n m? m a b c d a? b? c? d? X O 【例2-13】判断直线MN与平面ABCD是否平行。 e f e f O n m X m a d b c c d a b n O b b X a p p a 当平面的某一投影具有积聚性时，则该投影可反映平面与直线的平行关系。 2.4.4.1 平行问题 直线与平面平行 若两平面内分别有一对相交直线对应平行，则两平面互相平行。 B C A P Q E D F 2.4.4.1 平行问题 平面与平面平行 【例2-14】已知△ABC与M点，过M点作平面平行于△ABC 。 a b c a? b? c? m m? e? e f? f X O 【例2-15】判断△ABC与平面DEFG是否平行。 X O c b a a b c d g f f e d e m n n m g p q q p X O 当两平面均垂直于某投影面时，它们有积聚性的投影可直接反映平行关系。 2.4.4.1 平行问题 平面与平面平行 P A B K A B C M N 交 点 直线与平面的共有点 交 线 两平面的共有线（两个共有点） P 直线与平面相交 平面与平面相交 2.4.4.2 相交问题 一般位置直线与特殊位置平面相交 若平面处于特殊位置，其某一投影具有积聚性，则直线与平面的交点可利用直线与平面的积聚性投影相交而直接求得。 A B K P H a b k 2.4.4.2 相交问题 a b p a? b? p? k k? 【例2-16】一般位置直线AB与铅垂面P相交，求作交点K。 直观判别法 可见性判别 O X 投影面垂直线与一般位置平面相交 直线与平面相交，当直线的投影有积聚性时，交点的一个投影已知，另一投影用面上取点的方法求出。 K k d m(n) b A B H a C c D M N 2.4.4.2 相交问题 m(n) b a c d m? a? b? c? n? d? k k? 1 2 1? 2? ( ) e e? 【例2-17】铅垂线MN与平面ABCD相交，求作交点K。 可见性判别 重影点判别法 X O 两特殊位置平面相交 两平面相交，且均垂直于某一投影面，其交线必垂直于该投影面。则两平面的交线可利用平面的积聚性投影求得。 2.4.4.2 相交问题 【例2-18】铅垂面P与Q相交，求作交线KL，并判别可见性。 O X p p? q q? kl k? l? 一般位置平面与特殊位置平面相交 b A B P H a C c M N m n 两平面的交线可利用特殊位置平面的积聚性投影求得。 2.4.4.2 相交问题 【例2-19】求一般位置平面△ABC与铅垂面Q的交线KL。 a b q a? b? q? c? c k l k? l? O X 一般位置直线与一般位置平面相交 H M N P A C B E F K 辅助平面法 包含一般位置直线作一辅助平面，通常作投影面的垂直面 作辅助平面与一般位置平面的交线 求作此交线与一般位置直线的交点 2.4.4.2 相交问题 k 【例2-20】一般位置直线MN与一般位置平面△ABC相交，求交点K，并判别可见性。 1 2 e f f? e? n m H M N P A B C E F K c a m? n? c? a? b? b PH k? 1? 2? ( ) 3? 3 4 ( ) 4? O X 两一般位置平面相交 可采用直线与平面求交点的方法求得。 2.4.4.2 相交问题 直线与平面垂直 直线与平面垂直的几何条件： 若直线垂直于平面内的两相交直线，则该直线与平面垂直。 若直线与平面垂直，则该直线垂直于平面内的所有直线。 P A B C D K L E F M N 2.4.4.3 垂直问题 H a X V a O c b a c b m m M N n n A B C c m n b m a n c b 直线与平面垂直的投影特性： 直线的H面投影与平面内水平线的H面投影垂直； 直线的V面投影与平面内正平线