复分析五讲 第一讲.pdfVIP

數學傳播 34 卷 2期, pp. 52-75 複分析五講 第一講 龔 昇 張德健 1.0. 前言: 從微積分說起 簡單來說, 複變函數論是在複平面上討論微積分。 如同對任何的數學進行推廣那樣, 往往 一部分的內容可以毫無困難地直接得到, 但另一部分的內容卻是推廣後所獨有的。 前一部分固 然重要, 但人們更有興趣的是後面那一部分, 因為常常是這一部分才真正刻劃了這學科的本質。 在這一講中, 我們先簡單地回顧一下什麼是微積分, 然後再看看微積分中那些結果是可以 直接推廣到複數領域的, 而在以後的各講 中著重討論一些本質不同, 只在複數域上才特有的一 些主要性質與結果。 關於微積分的部分, 讀者可以參考我們以前在 數學傳播 上發表過的 「微 積分五講」。 正如在 「微積分五講」 中提過, 微積分是由三個部分 成, 即微分, 積分以及聯繫微分與積 分成為一個對立的微積分基本定理 , 即 Newton-Leibniz 公式。 我們知道若 y = f (x) 為定義在區間 (a, b) 上的一個函數, 若在 (a, b) 中的一點 x 極限 f (x + h) − f (x) df ′ lim 存在, 則稱 f (x) 在這點可微, 記這個極限值為 或 f (x)。 我們稱 h→0 h dx ′ df = f (x)dx 為 f (x) 在點 x 的微分。 如果函數 f 在 (a, b) 上每一點都可微, 則稱函數 f 在 (a, b) 上可微。 另一方面, 如果 y = f (x) 為定義在 [a, b] 上的一個非負函數, 將 [a, b] 分為任意 n 個小 區間 a = x x x = b, 而 ξ 為 [x , x ] 中任一點, 如果令 n → ∞, 且所有 0 1 n j j −1 j n [x , x ] (j = 1, . . . , n) 的長度都趨於零, 如果極限 lim f (ξ )(x − x ) 存在, 則稱 j −1 j j j j −1 n→∞ j =1 f (x) 在 [a, b] 上可積, 記此極限為 a b f (x)dx。 這便是微積分最最基本的定義及出發點, 並且 都有很明確的幾何意義, 而微分是 y = f (x) 所描繪的曲線在點 (x, y) 處的斜率, 積分是曲線 y = f (x) 在 [a, b] 上的曲邊梯形的面積。 52 複分析五講 第一講 53 微分, 積分的概念古已有之, 使之成為一門學問而發揚光大是由於 Newton 和 Leibniz 證 明了微積分基本定理 , 即指出了微分與積分是一 對立, 這個基本定理有兩種相互等價的表達 形式。 微積分基本定理 (微分形式) 設函數 f (t) 在區間 [a, b] 上連續, x 是 [a, b] 中的一點, 令 Φ(x) = a x f (t)dt, a ≤ x ≤ b, ′ 則 Φ(x) 在 [a, b] 中可微, 並且 Φ (x) = f (x), 即 dΦ(x) = f (x)dx, 換句話說, 若 f (x) 的 積分是 Φ(x