第9章数值积分与值微分26.pdf

第九章 数值积分与数值微分 在科学研究与工程设计中，经常遇到积分与微分的计算问 题，虽然有许多积分、微分可以用解析形式表示，但是有更多 的积分、微分是没有解析解存在的，而必须以数值方法求解. 本章主要介绍一元函数积分的常用数值算法，包括 Newton-Cotes 公式及其复化格式、自适应积分公式、Romberg 积分公式和 Gauss 积分公式等．简单介绍了多重积分的数值计 算. 对于数值微分也介绍了中点公式及其外推格式，对各种方 法均进行了误差分析和稳定性分析． 9.1 引言 1 在微积分中，若已知连续函数f (x ) 的一个原函数F (x ) ，则 可用牛顿－莱布尼兹（Newton-Leibniz ）公式计算f (x ) 的定积 分： b I (f ) ∫a f (x )dx F (b ) −F (a ) . （9.1.1 ） 但是，并不是所有的f (x )都存在原函数F (x ) 的解析式，有些原 函数即使有解析表达式其计算公式也特别麻烦，例如 1 π 10 2 2 2 2 −x ∫0 sin x dx ,∫0 1−2sin tdt 和∫0 x e dx等，还有些时候f (x ) 以 点列(x , f (x )) 0 ≤i ≤n 的形式给出，这些情况都无法使用牛顿－ i i 莱布尼兹积分公式计算.因此我们有必要研究数值积分公式计 算定积分. 在微积分中，定积分是黎曼（Rimann ）和当分割小 区间长度趋于零时的极限，即 2 n−1 b f (x )dx lim ∑f (x )Δx . （9.1.2 ） ∫a x 0 i i Δ → i i 0 所谓数值积分公式中，就是用有限项的和近似上面的极限， 通常由函数在离散点函数值的线性组合形式给出. n I (f ) ∑A f (x ) . (9.1.3) n i i i 0 其中 称为求积结点， 为求积系数，也称为结点 的权 x A x i i i b n R ( f ) I ( f ) =−I ( f ) f (x )dx =− A f (x )