第三章平均数、标准与变异系数.docVIP

第三章 平均数、标准差与变异系数 本章重点介绍平均数（mean）、标准差（standard deviation）与变异系数（variation coefficient）三个常用统计量，前者用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。 第一节 平均数 平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。在畜牧业、水产业生产实践和科学研究中，平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。平均数主要包括有算术平均数（arithmetic mean）、中位数（median）、众数（mode）、几何平均数（geometric mean）及调和平均数（harmonic mean），现分别介绍如下。 一、算术平均数 算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为。算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。 （一）直接法 主要用于样本含量n≤30以下、未经分组资料平均数的计算。 设某一资料包含n个观测值：x1、x2、…、xn，则样本平均数可通过下式计算： （3-1） 其中，Σ为总和符号；表示从第一个观测值x1累加到第n个观测值xn。当在意义上已明确时，可简写为Σx，（3-1）式即可改写为： 【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg），求其平均体重。 由于Σx=500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n=10 代入（3—1）式得： 即10头种公牛平均体重为528.5 kg。 （二）加权法 对于样本含量n≥30以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为： （3-2） 式中：—第i组的组中值； —第i组的次数； —分组数 第i组的次数fi是权衡第i组组中值xi在资料中所占比重大小的数量，因此fi称为是xi的“权”，加权法也由此而得名。 【例3.2】 将100头长白母猪的仔猪一月窝重（单位：kg）资料整理成次数分布表如下，求其加权数平均数。 表3—1 100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表 组别 组中值（x） 次数（f） f x 10— 15 3 45 20— 25 6 150 30— 35 26 910 40— 45 30 1350 50— 55 24 1320 60— 65 8 520 70— 75 3 225 合计 100 4520 利用（3—2）式得： 即这100头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为45.2kg。 计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时，如果样本含量不等，也应采用加权法计算。 【例3.3】 某牛群有黑白花奶牛1500头，其平均体重为750 kg，而另一牛群有黑白花奶牛1200头，平均体重为725 kg，如果将这两个牛群混合在一起，其混合后平均体重为多少？ 此例两个牛群所包含的牛的头数不等，要计算两个牛群混合后的平均体重，应以两个牛群牛的头数为权，求两个牛群平均体重的加权平均数，即 即两个牛群混合后平均体重为738.89 kg。 （三）平均数的基本性质 1、样本各观测值与平均数之差的和为零，即离均差之和等于零。 或简写成 2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均差平方和为最小。 (xi-)2(xi- a)2 （常数a≠） 或简写为： 以上两个性质可用代数方法予以证明，这里从略。 对于总体而言，通常用μ表示总体平均数，有限总体的平均数为： （3-3） 式中，N表示总体所包含的个体数。 当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则称此统计量为该总体参数的无偏估计量。统计学中常用样本平均数（）作为总体平均数（μ）的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数μ的无偏估计量。 二、中位数 将资料内所有观测值从小到大依次排列，位于中间的那个观测值，称为中位数，记为Md。当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观测值的平均数作为中位数。中位数简称中数。当所获得的数据资料呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。 （一）未分组资料中位数的计算方法 对于未分组资料，先将各观测值由小到大依次排列