数学分析第8次习题课.PDF

数学分析（2）：第8 次习题课 刘思齐 1. 设 。 i) 求证： ∫ ) ∫ ( ) ( ) exp d exp cos d （提示：在 上用极坐标计算左边的积分。） ii) 求证： ∫ d 解答： i) 根据提示在极坐标下化成累次积分，先把 积掉即得结论。ii) 第i) 条右边的积分以 为上界，所以只需令 。 □ 2. （球和球壳的Newton 势）设 是 中的Jordan 可测有界闭区域，对于 ，定义 ∫ d ∥ ∥ i) 设 ， ∥ ∥ ，求 ； ii) 设 ， ∥ ∥ ，求 。 解答： 根据对称性，不妨设 ，然后在柱坐标下化成累次积分即可。 注意积分的时候要先对柱坐标的 积分，然后再积 。 i) ∥ ∥ 这一结果表明球体的引力等效于球心处同质量质点的引力。 ii) { ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ 这一结果表明球壳内部没有引力，外部的情况与第一条相同。 □ 3. （Newton-Gregory 猜想） 1 i) 设 是 中半径为 的球，球心为 ； 是半径为 的球， 球心在 上； 是以 为顶点的与 相切的圆锥。求 被 截下来 的球冠的面积。 ii) 设 是与一个球相切且互不重叠的、和它等大的球的个数。求证： 。 解答： i) 在球坐标下化成累次积分可得： ) ii) 取 、 得