θ方法解滞时微分程的动力学性质.pdfVIP

维普资讯 2002年 12月 应用数学与计算数学学报 第 16卷 第 2期 Dec．，2002 C0MM ．0N APPL．MATH．AND C0MPUT V0l1．16 No．2 0方法解滞时微分方程的动力学性质 郭 谦 杨忠华 (上海大学数学系，上海， 200436) (上海师范大学数理信息学院，上海， 200234) 摘 要：本文研究求解滞时微分方程的 一方法数值解的渐近性质和方程真实解的关 系．首先 ，我们把数值方法看成以步长为参数的动力系统，考察非线性滞时微分方程 一 方法的数值稳定性，并且证 明了 A-稳定的 一方法是 NP．稳定的．其次我们证 明 一方 法没有伪不动点，还研究了伪周期 2解 的存在性．最后我们给出一个例子说明了滞时微分 方程 一方法产生的伪周期 2解是不稳定的． 关键词：周期 2解 ，伪解，渐近性质，稳定性． 1-引 言 在有限区间上收敛的数值方法不一定与原方程有同样的渐近性质．数值方法可以 看成是步长为参数的动力系统．动力系统的渐近状态包括平衡点、周期轨、拟周期解、 奇异吸引子等等．实用的数值格式应当使这些渐近状态与原方程的渐近性态相一致． 于是我们有必要研究数值方法伪解产生的原因，并设法避免伪解的产生． Runge-Kutta方法或者 一方法常被用于求解常微分方程和滞时微分方程，Runge- Kutta方法和 一方法求解常微分方程的数值动力系统 已经有了很多丰富的研究结果 1【，2，3，6，7】． 我们考虑如下滞时微分方程 s『(t) = ，(s(『t)，s(『t一7-))， t0， (1) s『(t) = 咖(t)， --T t 0． 采用 一方法的数值格式为 s『+1=Y +^【(1—0)／(u，Y一 )+ ，(s『+1，Yn+1一 )】． (2) 这里 Y 是 s(『t)的数值近似并且 h0是常数时间步长，7-=m^，m是一个正整数， 参数 ∈0【，1】．如果 ≠0那么格式 (2)是隐式的，所以一般每一步都要解一个非线性 方程组 ． 本文就是要 比较 (1)与其对应的数值方法 的渐近性质．首先我们将研究伪不动点 及伪周期 2解的存在性． 定义 1．11．如果对任意 h0以及任意 ，∈C ，每一个不动点 ∈R满足 ，(，)=0，那么称 一方法是 1阶正则的，记为 ¨．否则称为非 1阶正则． 本文 2002年 9月 13 日收到． 本项 目由国家 自然科学基金 ，上海市教委科技发展基金，上海市高校科技发展基金资助 维普资讯 8 应用数学与计算数学学报 16卷 2．如果对任意的h0和任意 ，∈C。， (2)不存在实的周期 2解，就称 方法是 2阶正则的，记为 R[2】_否则，称为非 2阶正则． 3．我们记 ，。】为同时满足 1， 2阶正则 的 方法． 假设所有右端 函数 ，(，Y)关于所有变量充分可微并且 f(0，0)=0，那么 y(t)=0 是原滞时微分方程的平衡态． 如果 l (0，) (3) 那么 (1)的平衡点 0是渐近稳定的 [4】． 如果取 h= ，其中m为正整数，应用于 (1)的数值格式 (2)当 n_÷。o时得到 的Y 0，则称(1)对应的 方法(2)在((o，o)，筹