一道中考压轴题的命制.DOCVIP

借鉴与创新——一道中考压轴题的命制 430050 湖北省武汉第三寄宿中学 桂文通 2011年武汉中考数学压轴题表述简洁、梯度合理、设问巧妙、立意高远，一致评价为它是一道很好的压轴题. 它是是一道代数与几何综合性试题，对学生的能力要求较高。考点覆盖面较宽，涉及到初中数学的核心知识：二次函数的解析式、二次函数图象与直线的交点、抛物线的平移、一元二次方程的根与系数关系、直角坐标系中的对称，相似三角形的判定和性质.考查的数学思想方法有数形结合、分类讨论、转化等，在解题方法中运用了平移、对称、相似变换，体现了变换思想在压轴题中运用. 它考查了学生的数学素养，突出能力立意，数学思维的考查.追求理性创新，将基础性、综合性有机结合，很好地发挥压轴题的功能. 本文想从命题人的角度谈谈它的命制过程及一些感悟. 1试题与解答 如图，抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为，直线与直线交于点，与轴交于点. 现将抛物线平移，保持顶点在直线上.若平移的抛物线与射线（含端点）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围； （3）如图,将抛物线平移，当顶点至原点时，过作不平行于轴的直线交抛物线于， 两点.问在轴的负半轴上是否存在点，使△的内心在轴上．若 存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1) 方法1：将，两点坐标代入抛物线的解析式中， 求得抛物线的解析式为 . 方法2：运用一元二次方程根与系数关系求解。 (2)根据题意可设平移的抛物线解析式为. ①只有对称轴的右侧的抛物线与射线相交时，考虑极端情形： 当抛物线经过点时，解得. ∴当≤＜时,平移的抛物线与射线只有一个公共点. ②当抛物线与直线相切时, 由方程组消元得 , 当=0 , 解得 . 此时抛物线与射线唯一的公共点为，符合题意. ∴或≤＜. (3)易知抛物线解析式为，设的解析式为. 由得. ∴，. 方法1（相似法）：假设存在满足题设条件的点，如图2， 过作∥轴，分别过作的垂线，垂足为. ∵△的内心在轴上， ∴△∽△, ∴, ∴, ∴. ∴, ∵,∴. ∴轴的负半轴上存在点，使△的内心在轴上. 方法2 （对称法）：设点的坐标分别为（）)，由方法1知：. 如图3，作点关于轴的对称点(),作直线交轴于点,由对称性知 , ∴点就是所求的点. 由的坐标，可得直线的解析式为. 当, ∴. ∴轴的负半轴上存在点 ，使△的内心在轴上. 2.试题的命制 2.1．立意 主要是明确压轴题所承载的使命.题型结构要与考试说明一致，前提是要保持稳定.要突出能力立意，围绕核心知识，体现常见的数学数学方法，以考查学生的数学素养和运用数学的能力.在体现较强的区分功能的同时，要通过问题的层次性体现人文关怀，让不同的学生得到不同的发展，让不同的学生感受不同的成功.在考查的内容上要突出初中数学的核心知识，并要兼顾考点平衡，且要有一定的综合度. 2.2借鉴 它山之石，可以攻玉.命题之前，查阅相关资料，最后选择如下两道中考试题作为创新的突破口. 试题1（成都，2009）.在平面直角坐标系xy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为,与x轴的交点为N，且COS∠BCO. (1)求此抛物线的函数表达式； (2)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个? 试题2（）已知，如图，过点作平行于轴的直线，抛物线上的两点的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点、，连接． （1）求点的坐标； （2）求证：轴上的点，，求抛物线的函数解析式(只含两个待定字母)，问题十分基础，并给考生提供了用不同方法解决问题的平台，学生可以直接用待定系数法求解，也可根据一元二次方程根与系数关系求得，见前面解法. 2.3．2关于第（2）问 将试题1中抛物线“上下平移”改为“任意方向的平移”，保留考查的方向一致，改变了设问的方式，提高了能力要求，加大了试题的难度. 第一，学生一般习惯了抛物线的上下平移或左右平移，可能刚接触问题时开始不大适应，但根据自己抛物线的平移经验，应该是可以迁移到“任意方向的平移”中来，这一点我们充分考虑到学生的认知基础和迁移能力的.但因为抛物线的顶点在不停的变化，要求引入新的参数，表示顶点坐标和运动中抛物线的解析式.这里考查了学生的抽象思维能力和动态变化的思想，它给学生设置了一些认知上的障碍. 第二，对思维的严谨性提出较高的要求.在研究抛物线与直线相