直线与圆锥曲线中的定点问题.docVIP

直线与圆锥曲线中的定点问题 在圆锥曲线中，有一类曲线系方程，对其参数取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是我们所指的定值问题. 圆锥曲线中的几何量，有些与参数无关，这就构成了定值问题.它涵盖两类问题，一是动曲线经过定点问题；二是动曲线的某些几何量的斜率、长度、角度、距离、面积等为常数问题. 例：如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率过的直线交椭圆于两点，且的周长为8 （Ⅰ）求椭圆E的方程（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相于点Q试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由解：解法一： (1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8， 又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，所以4a＝8，a＝2. 又因为e＝，即＝，所以c＝1，所以b＝＝. 故椭圆E的方程是＋＝1. (2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0， 即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*) 此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P. 由得Q(4,4k＋m)． 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上． 设M(x1,0)，则·＝0对满足(*)式的m、k恒成立． 因为＝，＝(4－x1,4k＋m)，由·＝0， 得－＋－4x1＋x＋＋3＝0， 整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(**) 由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1. 故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M. 解法二：(1)同解法一． (2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0， 即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*) 此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P. 由得Q(4,4k＋m)． 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上． 取k＝0，m＝，此时P(0，)，Q(4，)，以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－)2＝4，交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)；取k＝－，m＝2，此时P，Q(4,0)，以PQ为直径的圆为2＋2＝，交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)．所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1,0)． 以下证明M(1,0)就是满足条件的点： 因为M的坐标为(1,0)，所以＝，＝(3,4k＋m)， 从而·＝－－3＋＋3＝0， 故恒有，即存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M. 方法1：特殊到一般法 解题步骤 根据特殊情况确定出定值或定点；对确定出来的定值或定点进行证明． 适用情况 根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题. 方法2：引进参数法 解题步骤 引进参数表示变化量；研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点． 适用情况 定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值)即是定点(或定值). ，设动直线l：y=kx+m与E相切于点P，且与直线相于点Q试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由由得(3－k2)x2－kmx－m2+3)＝0. 因为动直线l与E相切于点P(x0，y0)，所以且Δ＝0， 即4k2m24(3－k2)(m2＋3)＝0，化简得m2－k2＋3＝0.(*) 所以P. 由得Q． 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上． 设M(,0)，则·＝0对满足(*)式的m、k恒成立． 因为＝，＝，由·＝0， 得 整理，得.(**) 由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得. 故存在定点M(,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.故恒有，即存在定点M(,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M. ，设动直线l：y=kx+m与抛物线相切于点，与直线相交于点．证明以为直径的圆恒过轴上某定点因为,　． 设则，并且的方程为，即由 得所以设,令对满足的，恒成立由于，由于,得， 即 （*） 由于（*）对满足的恒成立，所以 解得 故以为直径的圆恒过轴上的定点． 解法二 ,所以． 设则，并且的方程为，即由 得所以取=2，此时P(21)，Q(0，-1)， 以PQ为直径的圆为，交y轴于点（0,1）或（0，-1）；取=1，此时，，以PQ为直径的圆为，交y轴于或故若满足条件得点M存在