曲线曲面基本理论-read.pptVIP

图形的计算机表示 图形的计算机表示是形状信息计算机表示、分析和综合的核心。 即：要解决既适合计算机处理，且有效地满足形状表示与几何设计的要求，又便于形状信息传递和数据交换的形状描述的数学方法。 形状数学描述应保留对象形状的尽可能多的性质。 形状数学描述的要求 从计算机对形状的处理、便于形状信息传递与数据交换的角度来看应满足如下要求： 唯一性：由已给定的有限信息决定形状应是唯一的。 几何不变性：形状相对位置确定后，形状应不随所取的坐标系改变而改变。 易于定界：容易界定参变量取值范围。 统一性：能统一表示各种形状及处理各种情况，包括各种特殊情况。即：既能表示自由型曲线曲面，又能表示初等解析曲线曲面。 计算处理简便易行。 具有丰富的表达能力与灵活地响应的能力。 易于实现连接，且在许多场合要求的光滑连接。 易于实现对形状的控制，既具有整体控制的能力，又具有局部控制的能力。具有较大的控制的灵活性。 几何直观，几何意义明显。 曲线曲面参数化表示问题 曲线和曲面可由给定数学函数生成，曲线和曲面的函数方程能表示为参数形式或非参数形式。 对计算机图形应用而言，参数表示一般更方便些。 曲线曲面的参数化 给定一个具体的单参数的矢函数，并据此给出一个具体的参数曲线曲面方程。 既决定了所表示曲线曲面的形状； 也决定了该曲线曲面上的点与其参数域内的点(即参数值)之间的一种对应关系。 在曲线曲面理论中，所要考察的在于两个方面： 曲线曲面的整体，而不是组成这个整体的各个分量； 曲线曲面上点之间的相对位置关系，而不是它们与所取坐标系之间的相对位置关系。 曲线参数化概念 空间曲线上一点P的每个坐标被表示为某个参数u的函数： x=x(u), y=y(u), z=z(u)， 位置矢量：三个坐标分量就组成曲线上该点的位置矢量，曲线就可表示为参数u的矢函数： P(u)=(x(u),y(u),z(u))。 参数区间：描述形状的参数曲线总是有界的，可以方便地用参数区间表示： u∈[u1,u2]，或u1≤u≤u2。 参数曲线里的参数可能具有某种几何意义， 如：圆参数方程P(θ)=(rcosθ,rsinθ)(0≤θ≤π/2)中的参数θ； 参数曲线里的参数也可能无任何几何意义， 如：三次多项式方程x(u)=axu3+bxu2+cxu+dx(0≤u≤1)中的参数u。 曲线参数化方法 对于标量显函数方程如y=y(x)，只需： 将其中变量换成参数u； 将函数值y换成位置矢量P(u)； 将标量系数相应换成为系数矢量； 各阶导数d(k)y/dxk换成导数矢量d(k)P(u)/duk。 由于在许多参数形式之前就存在相应的非参数形式(如：三次样条曲线有三次样条函数，Bézier曲线有Bernstein基函数等)，所以，这种对应关系与替换绝非是等价的。 而对于非参数形式下的隐方程，则可转换成等价的参数形式，只需把所含各坐标都分别表示成某一参数的函数，使它们适合于该隐式方程。 曲线参数化：对应关系 曲线形状确定后，曲线上的点与参数域内的点的对应关系是指：曲线上点沿曲线弧长的分布情况与点的参数值在参数域的分布情况之间对应。 这种对应关系与参数选取有关：仅在曲线取自身弧长或弧长的线性函数为参数时，参数域内线段长度之比才等于曲线上对应曲线段弧长之比。 曲线的参数化：性质 曲线上的点是参数u的矢函数。 曲线对参数u求导数等于其各分量对参数u求导，其结果为一矢量，称为导矢；一阶导矢称为切矢。 切矢以及各阶导矢都是相对矢量，可在空间内任意平移。 曲线上切矢为非零矢量的点称为正则点。若曲线在其参数域内处处切矢为非零矢量，则称该参数化为正则的，所定义的曲线称为正则曲线。 曲线采用参数表示后，就有了方向。 曲线的方向对应于曲线上参数增加的方向。 曲线在一点的方向就是曲线在该点的切矢方向。 若曲线某点的切矢为零向量，则该点的方向可由在该点处的最低阶的非零导矢的方向决定。 曲面的参数化：概念 曲面可表示为参数u、v的矢函数P=P(u,v)描述。 曲面的范围 常用两个参数的变化区间所表示的uv参数平面上的一个矩形区域：u1≤u≤u2、v1≤v≤v2给出。 这样就相应得到具有四条边界的曲面即矩形曲面。 也可定义在uv参数平面的某一区域￡上，用u,v∈￡给出。 正常情况下，参数域内的点与曲面上的点构成一一对应的映射关系。曲面上这种映射关系不成立的点为曲面的奇点。 曲面的参数化：性质 曲面的参数化不是唯一的。 参数曲面上存在两簇等参数线：一簇u线和一簇v线： 固定uv两参数中的一个(u=u0或v=v0)而使曲面方程成为单参数P=P(u0,v)或P=P(u,v0)的矢函数，表示曲面上一条以v或u为参数的曲线(u线或v线)。 曲面上任一点处总有一个u向切矢pu(u