numericalanalysis_trefethen-浙江大学数学系.pdfVIP

Numerical Analysis Lloyd N. Trefethen Oxford University March 2006 /s/blog_6e75869d0100to2j.html 致谢： 这一个文章将会在不久就要出版的普林斯顿数学伴侣中刊登, 由Timothy Gowers和June Barrow-Green编辑，普林斯顿大学出版社出版。 在准备这一篇短文时，我得益于来自许多同事的忠告，他们也帮助改正了若干 事实和论述的错误。我也不总是听从他们的忠告,因此我将对书中的错误和省略负完 全责任。 （以下是致谢的名单，略去） 1 对数值计算 的需要 每个人知道当科学家和工程师需要数学问题的数值答案的时候,他们就转向计 算机。 然而，存在着很大的关于这一个过程的误解。 数值力量是特别巨大的。 人们时常认为，当伽利略等定下了一项原则，对每件 事物一定要进行测量，从那时起科技革命就开始起动了。数值测量导致了用数学方 法表达物理定律。并且,在全部周期中，其成果都围绕着我们,精细的测量导致精确 的定律, 进而导致较好的技术和更精确的测量。 那种离开数值数学而获得种物理 科学的进步，或获得种意义重大的工程产品发展的时代，早已过去了。 在这一个故事中计算机确实扮演一个角色,不过，它们的角色是什么却存在一个 误会。 许多人想像，由科学家和数学家产生公式,然后,藉着将数值插入进这些公式 之内,计算机就制造出必需的结果。实际情况完全不是这样。 真的进行的是执行运 算法则的一个更为有趣程序。 在大部份的情形下，照着公式做这件工作甚至无法完 成,大多数的数学问题不能够靠一个有限步操作的序列来解决。相反的是快速算法则 很快地收敛于精密到三或十位，甚至一百位的数值近似答案。对于科学或工程应用 来说, 这样一个答案可能和精确答案一样有用。 可以举例说明正确和近似解的复杂性。假如我们有一个四次多项式, 2 3 4 p(z)= c + c z+ c z + c z +c z ; 0 1 2 3 4 而另外有一个五次多项式, 2 3 4 5 q(z)= d + d z+ d z + d z +d z +d z : 0 1 2 3 4 5 广为人知的是：p的根可由显式(由Ferrari在大约 1540 年发现)求得, 但是q 的根却没有这样的公式(Ruffini和Abel在250年之后; 证明了它的无解性)。因此, 哲学上会意义到，p 和 q 的求根问题是完全不同的。然而在实际应用中它们却难于 区别。 如果一位科学家或一个数学家想要知道一个多项式的根, 他将会转向一部计 算机而且在小于几毫秒的时间内得到16位数值精度的答案。 计算机使用了一个显式 吗?在q的情况，答案肯定为不，但p怎么样?也许是,也许不。大部份的时间，使用者 既不知道也不关心,一百个数学家中也许找不到一个能凭记忆写下求p的根的公式。 这里再举出另外三个例子，就像对于p的求根那样，它们是能用一级数初等运算 求解的。 (1) 线性方程组: 解含n个未知数的n个一次方程组。 (2) 线性规划: 在m 个线性约束下，将含n个变量的一次函数减到最小。 (3) 旅行售货员问题: 找到在 n 城市之间的最短旅游路线。 而下面的五个例题, 则像对于q求根那样,通常是不能够用初等运算求解的。 (4) 求 n x n 矩阵的特征值。 (5) 求多变量函数的最小值。 (6) 计算积分。 (7) 解常微分方程(ODE问题) 。 (8) 解偏微分方程 (PDE) 。 我们能否得出结论 (1)- (3) 在实际中将会比 (4)- (8)容易 ? 完全不是！如果 n 是数百或数千，问题 (3) 通常是非常难解的。