修订机械工业出社《微积分》第1章习题解答.docVIP

《微积分》习题解答 第一章习题 1.1求下列函数的定义域 （1） 解：由得： ，即：或 （2） 解：由 即： （3） 解：由，得 且 （4） 解：定义域为 （5） 解： 即 （6） 解：由于对于任意实数，，所以 所以 即定义域为 （7） 解：由得： 所以 （8） 解： 即： 1-2试判断下列各题中函数对是否相同，并说明理由。 （1） 解：函数对不同，因为定义域不同。前者定义域为，后者定义域为 （2） 解：函数对不同，因为定义域不同。前者定义域为，后者定义域为。 （3） 解：函数对不同，因为对应法则不同，例如当后者的函数值为0. （4） 解：函数对不同，因为定义域不同。前者定义域为，后者定义域为 （5） 解：函数对不同，因为定义域不同。前者定义域为，后者定义域为 （6） 解：相同。因为定义域相同，对应法则也相同。 1-3.求下列函数的函数值。 （1） 解： （2），求 解： （3） 解： 1-4.设 （1）求 （2）求。 解：（1） （2） 1-5设求函数的表达式。 解： 1-6讨论下列函数的单调性。 （1） （2） (3) (4) 解：（1），所以，当时，函数单调减少。；当时，函数单调增加 （2）当时，函数单调增加；当时，函数单调减少。 （3）当时，函数单调减少；当时，函数也单调减少。 （4）当时，函数单调增加；当时，函数单调减少。 1-7设函数在区间上有界，试证在区间上也有界. 证：由题设可知: 存在正数 所以，,及.所以，在区间上有界. 1-8判断下列函数在各自定义域上是否有界。 （1） （2） （3） （4） 解：（1）有界。 （2）对于任意给定的正数,存在整数使得的绝对值大于，当时，.所以所给函数无界。 （3） 函数有界。 （4）无界 1-9讨论下列函数的奇偶性。 （1） （2） （3） （4） 解：（1）所以，该函数为偶函数 （2）所以，此函数既非奇函数，也非偶函数。 （3）对于所以，函数为奇函数。 （4）对于即 =，所以函数为偶函数。 1-10判定下列函数是否为周期函数。如果是周期函数，指出其周期。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解：（1）是周期函数，周期为 （2）是周期函数，周期为 （3）是周期函数，周期为 （4）是周期函数，周期为 （5）不是周期函数。 (6) 不是周期函数。 1-11求下列函数的反函数。 （1） （2） （3） （4） 解：（1）所以反函数为 （2）所以，反函数为 （3）所以，反函数为 （4）。 所以，反函数为 1-12求下列函数在处的函数值。 （1） （2） 解：（1） （2） 1-13设求。 解： 1-14设求。 解：令 所以 1-15设 解： 1-16指出下列函数是有哪些函数复合而成的。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） (7) (8) (9) (10) 解：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 1-17在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求出复合函数的定义域。（1） （2） （3） （4） （5） (6) 解(1), (2),,为整数 (3) (4) (5) , (6) 1-18.将下列直角坐标方程化为极坐标方程。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 解(1)将代入所给方程，可得 (2) 将代入所给方程，可得 所以所以 （3）将代入所给方程，可得所以所以 （4）将代入所给方程，可得 （5）将代入所给方程，可得 （6）将代入所给方程，可得所以 （7）将代入所给方程，可得，即 （8）将代入所给方程，可得即 1-19.将下列极坐标方程化为直角坐标方程。 （1） （2） （2） （4） （5） （6） 解：（1）方程两边平方，得，即 （2）方程两边同乘以，得，即 （3）方程两边同乘以,,即 (4) 原方程即，方程两边同乘以，得，即 （5）原方程可化为，即 （6） 1-20.试画出极坐标方程为的曲线对应于在的范围的那部分曲线。 解略 1-21.试求曲线与的交点的极坐标。 解：由及联列，可得，所以可取，所以交点的极坐标为 1-22.把一圆形铁片自中心处剪去中心角为弧度的扇形后围成一无