第13讲充分必要条件与子集推出关系.docVIP

第十三讲：充分必要条件 【复习要求】 1．理解的概念。 2．四种命题之间的内在联系 3．； 充分条件、必要条件的概念 【知识梳理】 ，则, （2）若，则. 易得出结论；命题(1)为真命题，命题(2)为假命题． 讨论：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？ 我们将由此推出关系，引入新的概念： 给出定义：命题“若p，则q” 为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立． 换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件． 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作：p(q． 、充分与必要条件的概念： 充分条件：若，则是的充分条件； 必要条件：若，则是的必要条件； 充要条件：若既有，又有，则是的充分必要条件，简称充要条件，也是的充要条件。 、推出关系具有传递性：若，，则，若，，则，称与等价。 、充要条件的证明： 证明过程必须是“双向”的，即：既要由条件推出结论（充分性），又要由结论推出条件（必要性）。 思考： 问题1：用“”，“”，“”，“”填空： =｛︱｝；=｛︱｝ 命题：；命题： ；命题 命题 提问：通过以上例题，对集合间关系和推出关系你能得出什么结论？ 问题2: 命题: 是命题:的 充分不必要 条件 命题: 是命题: 的 必要不充分 条件 问题3：请写出的一个充分条件: 请写出的一个必要条件: 提问：你是如何找到这个条件的？ （学生容易得出“小范围的能推出大范围的”这一直观朴素的结论，这种口语化的表述还需进一步用准确的数学语言来表达，引导学生用集合间的 “包含”或“包含于”的关系来刻画“范围”的大小关系） 从上面的例子我们发现是的充分条件，即，如果将满足的元素组成集合，即,将满足的元素组成集合，即,可以得到： 如果，那么，反之亦然。所以子集和推出关系之间有着必然的联系，这就是本节课研究的子集与推出关系。 4、子集与推出关系： 设，则 与 等价。 、子集与推出关系的各种表述形式： 已知集合 若则是的充分条件； 若则是的充分不必要条件； 若则是的必要条件； 若则是的必要不充分条件； ，则是的充要条件； ⑥若则是的既不充分也不必要条件； 、推出关系具有传递性：若，，则，若，，则，称与等价。 设，，则集合、之间的关系与、之间的关系，可用下表表示： 集合之间的关系 与之间的推出关系 是的 什么条件 原命题“若，则”的真假 逆命题“若、则”的真假 ， 充分非必要条件 真命题 假命题 ， 必要非充分条件 假命题 真命题 充要条件 真命题 真命题 不满足以上三种情况 ， 既非充分又非必要条件 假命题 假命题 【典型例题】 例1、若命题p的否命题是q，命题q的逆命题是r，则r是p的逆命题的（ D ） A原命题 B逆否命题 C逆命题 D否命题 例2、已知p：是方程的两根，q：，则p是q的（ A ） A．充分但不必要条件 　 　B．必要但不充分条件 C．充要条件 　　　 D．既不充分也不必要条件 例3、判断下列各命题中是成立的什么条件： （1）：；：； （2）：；： （3）或；； （4）设，： ，： （5）已知，；。 （6）已知，， 解：(1)设，， ∵ AB, ∴是的充分非必要条件。（2）设，，∵,，AB, ∴ 是的必要非充分条件。（3）必要非充分条件； （4）是的必要不充分条件 （5）既不充分也不必要条件 （6）因为，或，， 所以，是的充分非必要条件． 例4、已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s，r，p分别是q的什么条件？ 分析 画出关系图1－21，观察求解． 解 s是q的充要条件；(srq，qs) r是q的充要条件；(rq，qsr) p是q的必要条件；(qsrp) 例5、求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 证明略 例6、设，是的充分条件，求的范围。 解：设， 因为是的充分条件，即，所以 由右图可得，解得 所以的取值范围是。 变式练习： 设，是的充分条件，求的范围。 解：设， 是的充分条件，即， 画数轴分析可得或，解得或 所以的取值范围是或。 例、试用子集与推出关系判断是β（甲是乙）的什么条件： （1）：；： （2）：；： （3）甲：，乙： （4）设，甲： ，乙： 解：(1)设，， ∵ AB, ∴ α是β的充分非必要条件。 (2) 设，， ∵,，AB, ∴ α是β的必要非充分条件。