广义相对论_第5章.docVIP

第五章 Einstein引力场方程 爱因斯坦所建立的广义相对论是一个协变的引力理论，它包含两部分。一部分是等效原理，它说明有引力场存在的时空构成弯曲的黎曼空间，空间度规起着引力势的作用。另一部分是爱因斯坦引力场方程，它指明空间度规即引力势对物质分布的依赖关系。 5.1 引力几何化 等效原理显然要求引力和惯性力可用同样方法来描述，为此首先需要看清惯性力是怎么描述的。当一个质点相对闵可夫斯基空间中的惯性系作自由运动时，它的动力学方程为 （5-1-1） 其中是惯性系的闵可夫斯基坐标，这里我们采用了并且在以后会经常采用光速的自然单位制，方程(5-1-1)就是测地线方程。因为闵可夫斯基度规下克里斯多夫联络为零，测地线方程才简化成（5-1-1）的形式。利用广义坐标变换来引入非惯性系，它的四维时空坐标记为，并且有 相应的反变换为 经过简单的数学推导容易看出，上述相对闵可夫斯基空间自由运动的动力学方程(5-1-1)可通过变换化成 （5-1-2） 其中。 (5-1-2)式就是非惯性系中自由粒子的动力学方程，式中第一项是粒子的加速度，第二项是单位质量粒子所受的引力（惯性力）。可见，惯性力场的场强是由黎曼空间的联络描述的。按照等效原理的思想，引力场与惯性力场在物理规律中的地位应是相同的，因此引力场强一般地也应由空间的联络描述。依据上一章的黎曼几何知识，联络描述空间的几何结构，现在又看到引力场强通过联络来反映，这种用空间几何来表示引力的想法叫引力的几何化。 联络是由度规张量的微商构成的；因此，如果讲联络描述了引力场强，那么度规张量就相当于引力势。在牛顿理论中，引力势是一个标量场。按现在的理论，引力势是一个二阶对称张量场，它有十个独立的分量。 如果时空是平坦的，那么总能找到一组闵可夫斯基坐标使联络恒为零，即使引力场的效果完全消失，这意味着存在全局性的惯性系。然而，经验却表明这种惯性系是不存在的。因此，现实的物理时空一定是弯曲的黎曼空间，曲率张量必不为零，从而消除全部引力效果是不可能的。 黎曼几何同时也告诉我们，在弯曲空间中消除任一点的联络是永远可以的。这意味着在任一时空点的无穷小邻域中引力效果是近似地可消除的，即近似的局域惯性系是永远可以找到的，这正是等效原理的物理基础。等效原理进一步做出了两个判断：（1）自由下落的局域参考系正是这种参考系；（2）在这种参考系中狭义相对论所肯定的物理规律都成立。这两点判断正是等效原理所蕴含的假设。 5.2 弱引力场中的自由粒子 已经指出，任意引力场中自由粒子的动力学方程是测地线方程 （5-2-1） 现在我们论证，当满足条件： （a）引力场是弱场，即令 （5-2-2） 则有 （5-2-3） 其中是闵可夫斯基度规； （b）引力场是静态的，即 （5-2-4） （c）引力场是空间缓变的,即 （5-2-5） 其中，拉丁指标均表示1-3，而约定俗成地希腊指标则表示0-3； （d）粒子的运动是低速的，即 （5-2-6） 那么测地线方程（5-2-1）将还原到牛顿方程 （5-2-7） 其中，是牛顿引力势。 按上述条件（a）至（c），联络是小量。保留至一级小量，有 （5-2-8） 再利用条件（d），在（5-2-1）式右边也只保留一级小量，测地线方程简化为： （5-2-9） （5-2-10） 由（5-2-9）式解出，于是（5-2-10）式变成 （5-2-11） 这正是牛顿方程（5-2-7）的形式。对比看出，牛顿引力势与度规分量的关系为 考虑到无穷远处引力场消失，度规还原到闵可夫斯基形式，即处有，则有 或写成 （5-2-12） 这证明告诉我们，引力场中的牛顿方程（5-2-7）仅对在静态的、缓变的弱引力场中的自由粒子才适用。下面，我们具体讨论一个质量为的球状引力源的引力场。 按牛顿引力理论，球状源的外引力势为 其中是牛顿引力常数。当它是弱场时，上述证明说明 （5-2-13） 而弱场条件则表现为 （5-2-14） 定义,叫球状源的引力半径。弱场条件就是 （5-2-15） 即粒子在比引力半径