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二次型化为标准形的几种方法 摘要：二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法。正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。 关键词：正交变换法 配方法 初等变换法 雅可比方法 偏导数法 Several Methods of Changing the Quadratic into the Standard Abstract：uadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula. Keywords: orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method 引言 二次型是代数学中的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形，本文介绍了五种化二次型为标准形的方法，各种方法的解题思路步骤及依据在正文部分都有详细的说明，并且每种方法后面配有例题这样理解起来就会更加容易。正交变换法是常用的方法之一，需要求出特征值，特征值就是对应的平方项的系数；配方法需要通过观察依次对每项配方，直到各项全部配成平方为止；初等变换法用一系列的合同变换将二次型矩阵化成与之合同形式上又比较简单的对角矩阵；雅可比方法相对其他方法更为简便，但是它要求二次型矩阵的各阶顺序主子式都不为零，然后通过固定的公式确定平方项的系数；偏导数法的实质与配方法是一样的，但是偏导数法有固定的步骤，相对更好实施。 2.正交变换法 由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同，因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性变换将此实二次型化简成为不含混合项的形式。 定理1[1] 任意一个实二次型，都可以经过正交的线性替换变成平方和其中平方上的系数就是矩阵A的特征多项式的全部的根。 2.1解题步骤 将实二次型表示成矩阵形式并写出矩阵。 求出矩阵的所有特征值，可能会出现多重特征值，分别记它们的重数为（=） 求出每个特征值所对应的特征向量，列出方程，能解出与对应的个线性无关的特征向量。同理，对其他的特征值也是采用此方法求出与之对应的特征向量。因为=，所以一共能出个特征向量。 将所求出的个特征向量先后施行正交化，单位化得到，记为 = 作正交变换,则得二次型的标准形= 例1用上面所述的方法化下面的二次型为标准形。 解：（1）首先写出原二次型的矩阵 = 由的特征多项式 == 从而得的特征值为=-3，=7，=-1，=1 （2）求特征向量，将=-3带入中，得到方程 解此方程可得出基础解系=，同样地，分别把=7，=-1，=1 带入中，解方程能够得出与=7，=-1，=1对应的基础 解系依次为=，=，= （3）将所求出的特征向量正交化，方法如下： 令 == == == == （4）将已正交的向量组