专题二基本初等函数.docVIP

专题二：函数、基本初等函数的图象与性质 【知识链接】 一、函数的有关概念： 设A,B非空的集合，如果按照某种确定的对应关系使对于集合A中的任何一个数，在集合B中都有唯一确定的是和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数。 1.函数的三要素： 2.函数相等：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等。 3.函数的表示法： 4.函数的定义域： ①分式的分母不为0 ②根式的被开方数大于或等于0 ③对数的真数大于0，底数大于0且不等于1 ④零次幂的底数不等于0 ⑤三角函数中的正切； ⑥已知函数的定义域为D，求函数的定义域，只需 ⑦已知函数的定义域，求函数的定义域，只需，即的值域。 二、函数的基本性质 注意：①若，则是周期为的周期函数；若则是周期为 的周期函数；若恒成立，则是周期为的周期函数；若 恒成立，则是周期为的周期函数。 ②若函数有两条对称轴，则必是周期函数，且周期为 ③若图像有两个对称中心，则是周期函数，且周期为 ④若的图像有一条对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数且 周期为 ⑤若，则函数的图像关于轴对称。 ⑥，则函数的图像关于中心对称。 ⑦复合函数的单调性满足“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数 的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为 减函数。 ⑧奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的 单调性相反 ⑨两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的奇是偶函数 两个偶函数的和、积是偶函数 一个奇函数、一个偶函数的奇是奇函数 三、指数函数 定义：形如的函数叫做指数函数。 图像：① 性质：当时， 当时， 在定义域R上是增函数 ② 性质：当时， 当时， 在定义域R上是减函数 注意：指数函数图形过点符合底大图像高。 对数函数 对数的性质与运算法则： ①； ②换底公式 ③对数的四则运算法则： 对数函数的图像与性质 图像：① 性质：当时， 当时， 在定义域上是增函数 ② 性质：当时， 当时， 在定义域上是减函数 注意：①指数函数与对数函数互为反函数，它们的图像关于直线对称 ②对数函数的图像过点符合底大图像低。 幂函数： 幂函数的图像与性质： ①当， 性质：在第一象限内单调递增，图像是向下凸的 ②当时， 性质：在第一象限内单调增加，图像是向上凸的 ③当， 性质：在第一象限内单调递减，图像是向下凸的 注意：①所有的幂函数在第一象限都有定义 ②当时，幂函数过点与点，函数在第一象限为增函数。 ③当时，幂函数过点,函数在第一象限为减函数。 ④幂函数的图像在上符合指大图像高（指数越大，图像越远离轴） ⑤幂函数的图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于能否出现在第二、第三象 限内，要看函数的奇偶性。如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点。 函数的变换： 平移变换： ①的图像向左平移个单位得到函数的图像；向右平移个单位长度得到函数的图像（即左加右减） ②对于上下平移，原则是上加下减 2.对称变换： ①的图像关于x轴的对称为；关于y轴对称为；关于原点对称为 ；关于直线对称为 ②的图像：可将的图像在x轴下方的部分关于x轴对称，其余部分不变